Завдання 369, § 8. Функції Functions — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 369

Аналіз графіка функції за малюнком

Дано графік функції $y = f (x)$ на проміжку $[- 5; 5]$ . Потрібно знайти область визначення, область значень, конкретні значення функції ( $f (- 5), f (0)$ тощо), точки перетину з осями та екстремальні точки.

Розв’язання

Область визначення ( $D (f)$ ): Графік розташований від $x = - 5$ до $x = 5$ . Отже, $D (f) = [- 5; 5]$ .
Область значень ( $E (f)$ ): Графік досягає мінімуму приблизно при $y = - 1$ (точніше, між -1 і -2, але за сіткою це $- 1$ або трохи нижче, давайте візьмемо точніше: точка мінімуму знаходиться на перетині ліній сітки. По горизонталі відліки по 1 одиниці. Мінімальне значення $y \approx - 1$ . Максимальне значення $y = 5$ (вершина параболоподібної частини). Отже, $E (f) = [- 1; 5]$ .
Знаходимо конкретні значення:
$f (- 5)$ — точка на лівому краю графіка, $y \approx 2$ (точніше, це перетин з сіткою). Дивлячись на малюнок, при $x = - 5$ , $y = 2$ .
$f (- 4) = 0$ (перетин з віссю $x$ ).
$f (0) = 4.5$ (точка перетину з віссю $y$ , графік проходить між 4 і 5, ближче до середини? Ні, дивлячись на сітку: при $x = 0$ , $y$ знаходиться трохи вище 4. Давайте уважніше: вершина параболі при $x = 1, y = 5$ . Ліва гілка гіперболи або інша функція. При $x = - 2, y = 0$ . При $x = - 3, y \approx - 1$ . При $x = - 4, y = 0$ . При $x = - 5, y = 2$ .
Перевіримо точки:
$f (- 5) = 2$ ;
$f (- 4) = 0$ ;
$f (0) = 4.5$ (або $4, 6$ ? На малюнку точка на осі $y$ знаходиться між 4 і 5. Припустимо, це $4, 5$ або трохи більше. Але для школи часто беруть цілі числа або півцілі. Давайте візьмемо точніше: графік проходить через $(0; 4, 5)$ ? Ні, подивимось на сітку. Вертикальна лінія $x = 0$ перетинає графік на рівні трохи вище 4. Можливо $4, 6$ . Але без точної формулі важко сказати точно. Однак, якщо це задача з підручника, часто точки цілі. Перевіримо: чи проходить через $(0; 5)$ ? Ні. Через $(0; 4)$ ? Ні. Точка між 4 і 5.
$f (4) = 0$ (перетин з віссю $x$ ).
$f (5) \approx - 3$ (точка на правому краю, трохи нижче -2).
Уточнення: Оскільки це графік складної функції (комбінація), точні значення можна визначити лише візуально.
$f (- 5) = 2$ ;
$f (- 4) = 0$ ;
$f (0) \approx 4, 6$ (або просто "між 4 і 5");
$f (4) = 0$ ;
$f (5) \approx - 3$ .
Альтернатива: Можливо, це поліном чи інша функція. Але без формули ми беремо з графіка.
Давайте візьмемо значення з сітки:
При $x = - 5$ , $y = 2$ .
При $x = - 4$ , $y = 0$ .
При $x = 0$ , $y \approx 4, 6$ (або $4, 5$ ).
При $x = 4$ , $y = 0$ .
При $x = 5$ , $y \approx - 3$ .
Точки перетину з осями:
З віссю $y$ : $(0; 4, 6)$ (або близько до цього).
З віссю $x$ : $(- 4; 0)$ та $(4; 0)$ .
Екстремуми:
Найбільше значення досягається при $x = 1$ ( $y = 5$ ).
Найменше значення досягається при $x = 5$ (або в кінці проміжку, де графік йде вниз). На малюнку при $x = 5$ , $y \approx - 3$ . Отже, мінімум на кінці проміжку.

Відповідь:

а) Область визначення: $[- 5; 5]$ . Область значень: $[- 3; 5]$ (припускаючи, що мінімум досягається в точці $x = 5$ ).
б) $f (- 5) = 2$ , $f (- 4) = 0$ , $f (0) \approx 4, 6$ , $f (4) = 0$ , $f (5) \approx - 3$ . (Точні значення залежать від масштабу сітки, але зазвичай беруть цілі або півцілі: можливо $f (0) = 4, 5$ ).
в) $f (x) = 4$ при $x \approx 0, 2$ та $x \approx - 3, 8$ . $f (x) = 0$ при $x = - 4$ та $x = 4$ .
г) Перетин з віссю $y$ : $(0; 4, 6)$ (або близько); перетин з віссю $x$ : $(- 4; 0), (4; 0)$ .
ґ) Найбільше значення при $x = 1$ ( $y = 5$ ). Найменше значення при $x = 5$ ( $y \approx - 3$ ).

(Примітка: Без точної формули функції, що зображена на малюнку, відновити всі координати точно неможливо. Відповідь базується на візуальному аналізі сітки).

Розбір зрозумілий?