Завдання 349, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 349

Максимум добутку при лінійному обмеженні

Знайти найбільше значення виразу $ab$ , якщо $2 a + 3 b = 12$ і $a > 0, b > 0$ .

Розв’язання

Виразимо $b$ з умови рівняння: $3 b = 12 - 2 a \Rightarrow b = 4 - \frac{2}{3} a$ . Оскільки $b > 0$ , маємо $4 - \frac{2}{3} a > 0 \Rightarrow a < 6$ . Також $a > 0$ .
Запишемо вираз для добутку: $ab = a (4 - \frac{2}{3} a) = 4 a - \frac{2}{3} a^{2}$ .
Знайдемо вершину параболи $y = - \frac{2}{3} x^{2} + 4 x$ (вона відкрита вниз, тому це максимум). Координата вершини $x_{0} = - \frac{b _{коеф}}{2 a _{коеф}} = - \frac{4}{2 \cdot ( - \frac{2}{3} )} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 3$ .
Знайдемо значення $b$ при $a = 3$ : $b = 4 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 4 - 2 = 2$ . Перевірка: $2 (3) + 3 (2) = 6 + 6 = 12$ .
Обчислимо максимальний добуток: $ab = 3 \cdot 2 = 6$ .

Відповідь:

Найбільше значення виразу $ab$ дорівнює $6$ .

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 349 с. 65

Максимум добутку при лінійному обмеженні

Умова

Знайти найбільше значення виразу $ab$ , якщо $2 a + 3 b = 12$ і $a > 0, b > 0$ .

Що треба знати

Для знаходження максимуму добутку двох додатних чисел при заданій сумі їх лінійних функцій можна використати нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним або метод заміни однієї змінної через іншу.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй виразити $b$ через $a$ з рівняння $2 a + 3 b = 12$ , підставити отриманий вираз у добуток $ab$ і знайти максимум функції від однієї змінної.

Розв’язання крок за кроком

Виразимо $b$ з умови рівняння: $3 b = 12 - 2 a \Rightarrow b = 4 - \frac{2}{3} a$ . Оскільки $b > 0$ , маємо $4 - \frac{2}{3} a > 0 \Rightarrow a < 6$ . Також $a > 0$ .
Запишемо вираз для добутку: $ab = a (4 - \frac{2}{3} a) = 4 a - \frac{2}{3} a^{2}$ .
Знайдемо вершину параболи $y = - \frac{2}{3} x^{2} + 4 x$ (вона відкрита вниз, тому це максимум). Координата вершини $x_{0} = - \frac{b _{коеф}}{2 a _{коеф}} = - \frac{4}{2 \cdot ( - \frac{2}{3} )} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 3$ .
Знайдемо значення $b$ при $a = 3$ : $b = 4 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 4 - 2 = 2$ . Перевірка: $2 (3) + 3 (2) = 6 + 6 = 12$ .
Обчислимо максимальний добуток: $ab = 3 \cdot 2 = 6$ .

Відповідь:

Найбільше значення виразу $ab$ дорівнює $6$ .

Розбір зрозумілий?