ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 65

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 340–349 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities

Завдання 340

Доведення нерівностей з дробом

Довести, що для кожного додатного $b$ : а) $b + \frac{4}{b} \geq 4$ ; б) $25 b + \frac{1}{b} \geq 10$ ; в) $(b + 2) (\frac{2}{b} + 1) \geq 8$ .

Розв’язання

а) Перетворимо вираз: $b + \frac{4}{b} - 4 = \frac{b ^{2} - 4 b + 4}{b} = \frac{( b - 2 ) ^{2}}{b}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а $b > 0$ , то $\frac{( b - 2 ) ^{2}}{b} \geq 0$ , отже $b + \frac{4}{b} \geq 4$ .
б) Перетворимо вираз: $25 b + \frac{1}{b} - 10 = \frac{25 b ^{2} - 10 b + 1}{b} = \frac{( 5 b - 1 ) ^{2}}{b}$ . Оскільки $(5 b - 1)^{2} \geq 0$ і $b > 0$ , то $\frac{( 5 b - 1 ) ^{2}}{b} \geq 0$ , отже $25 b + \frac{1}{b} \geq 10$ .
в) Розкриємо дужки: $(b + 2) (\frac{2}{b} + 1) = 2 + b + \frac{4}{b} + 2 = b + \frac{4}{b} + 4$ . З попереднього пункту а) знаємо, що $b + \frac{4}{b} \geq 4$ , тому $b + \frac{4}{b} + 4 \geq 4 + 4 = 8$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Завдання 341

Доведення нерівностей з квадратними тричленами

Довести, що: а) $a^{2} - ab + b^{2} \geq 0$ ; б) $a^{2} + 4 a + b^{2} - 10 b + 29 \geq 0$ ; в) $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ ; г) $8 a^{2} + 14 ab + 7 b^{2} + 1 > 0$ ; д) $(a + b + 1)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + 1)$ .

Розв’язання

а) Перетворимо на суму квадратів: $a^{2} - ab + b^{2} = (a - \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2}$ . Оскільки квадрати невід'ємні, то сума $\geq 0$ .
б) Групуємо за змінними: $(a + 2)^{2} + (b - 5)^{2} = a^{2} + 4 a + 4 + b^{2} - 10 b + 25 = a^{2} + 4 a + b^{2} - 10 b + 29$ . Оскільки сума квадратів $\geq 0$ , нерівність виконується.
в) Перенесемо праву частину: $a^{2} + b^{2} + 2 - 2 a - 2 b = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2}$ . Оскільки $(a - 1)^{2} \geq 0$ і $(b - 1)^{2} \geq 0$ , то сума $\geq 0$ , отже $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ .
г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно $a$ : $8 a^{2} + (14 b) a + (7 b^{2} + 1)$ . Дискримінант $D_{a} = (14 b)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (7 b^{2} + 1) = 196 b^{2} - 32 (7 b^{2} + 1) = 196 b^{2} - 224 b^{2} - 32 = - 28 b^{2} - 32$ . Оскільки $D_{a} < 0$ при будь-яких $a, b$ , а коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $8 > 0$ ), то тричлен завжди додатний.
д) Розкриємо дужки в лівій частині: $(a + b + 1)^{2} = a^{2} + b^{2} + 1 + 2 ab + 2 a + 2 b$ . Перенесемо все вправо: $3 (a^{2} + b^{2} + 1) - (a^{2} + b^{2} + 1 + 2 ab + 2 a + 2 b) = 2 a^{2} + 2 b^{2} - 2 ab - 2 a - 2 b + 2$ . Поділимо на 2: $a^{2} + b^{2} - ab - a - b + 1$ . Перетворимо на суму квадратів: $\frac{1}{2} (a - b)^{2} + \frac{1}{2} (a - 1)^{2} + \frac{1}{2} (b - 1)^{2} \geq 0$ . Отже, нерівність виконується.

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено; д) Доведено.

Завдання 342

Доведення складних нерівностей

Довести, що: а) $a^{2} - 2 a + b^{2} + 6 b + 10 \geq 0$ ; б) $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2 (a + b + c)$ ; в) $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + a c + b c$ ; г) $2 a^{2} + 5 c^{2} + 2 a c + 1 > 0$ .

Розв’язання

а) Групуємо за змінними: $(a^{2} - 2 a + 1) + (b^{2} + 6 b + 9) = (a - 1)^{2} + (b + 3)^{2}$ . Оскільки сума квадратів $\geq 0$ , то $a^{2} - 2 a + b^{2} + 6 b + 10 \geq 0$ .
б) Перенесемо праву частину вліво: $a^{2} - 2 a + b^{2} - 2 b + c^{2} - 2 c + 3 = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2}$ . Оскільки сума квадратів невід'ємна, нерівність виконується.
в) Помножимо на 2: $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = a^{2} + b^{2} + a^{2} + c^{2} + b^{2} + c^{2}$ . За властивістю $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ маємо $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ , $b^{2} + c^{2} \geq 2 b c$ , $c^{2} + a^{2} \geq 2 a c$ . Складаючи ці нерівності: $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (ab + b c + c a)$ , звідки $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ .
г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно $c$ : $5 c^{2} + (2 a) c + (2 a^{2} + 1)$ . Дискримінант $D_{c} = (2 a)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (2 a^{2} + 1) = 4 a^{2} - 40 a^{2} - 20 = - 36 a^{2} - 20$ . Оскільки $D_{c} < 0$ і коефіцієнт при $c^{2}$ додатний ( $5 > 0$ ), то тричлен завжди додатний.

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Завдання 343

Нерівності з коренями та степенями

Довести нерівності при заданих умовах на змінні $a, b, c$ :
а) $12 a + 3 b \geq 12 ab$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0$ ;
б) $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8) \geq 64 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$ ;
в) $(3 a + b) (\frac{1}{3 a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ , якщо $a > 0, b > 0$ ;
г) $a^{4} + b^{4} + 2 c^{2} \geq 4 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Запишемо $12 a + 3 b$ як суму двох добутків: $6 \cdot 2 a + 3 \cdot b$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до виразу $\frac{6 \cdot 2 a + 3 \cdot b}{2} \geq (6 \cdot 2 a) \cdot (3 \cdot b)$ , що дає $12 a + 3 b \geq 2 36 ab = 12 ab$ .
Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8)$ . Застосуємо нерівність $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ (або $x + y \geq 2 x y$ ) до кожного множника окремо: $a^{2} + 2 \geq 22 a$ , $b^{2} + 4 \geq 4 b$ , $c^{2} + 8 \geq 42 c$ . Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8) \geq (22 a) (4 b) (42 c) = 64 ab c$ .
Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(3 a + b) (\frac{1}{3 a} + \frac{1}{b}) = 3 a \cdot \frac{1}{3 a} + 3 a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{3 a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a} + 1 = 2 + \frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a}$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до двох останніх доданків: $\frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a} \geq 2 \frac{3 a}{b} \cdot \frac{b}{3 a} = 2$ . Отже, вираз дорівнює $2 + 2 = 4$ .
Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму трьох доданків: $a^{4} + b^{4} + c^{2} + c^{2} \geq 4 ab c$ . Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^{4}, b^{4}, c^{2}, c^{2}$ : $\frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{2} + c ^{2}}{4} \geq 4 a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{2} \cdot c^{2} = 4 a^{4} b^{4} c^{4} = ab c$ . Помноживши на 4, отримаємо $a^{4} + b^{4} + 2 c^{2} \geq 4 ab c$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Завдання 344

Нерівності з коренями та степенями (продовження)

Довести нерівності при заданих умовах на змінні $a, b, c, d$ :
а) $2 a + 8 b \geq 8 ab$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0$ ;
б) $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6) \geq 48 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$ ;
в) $(a + 2 b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) \geq 4$ , якщо $a > 0, b > 0$ ;
г) $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0, d \geq 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Запишемо $2 a + 8 b$ як суму двох добутків: $4 \cdot a + 4 \cdot 2 b$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до виразу $\frac{4 a + 8 b}{2} \geq (4 a) (8 b)$ , що дає $2 a + 8 b \geq 2 32 ab = 2 \cdot 42 ab = 8 2 ab$ ? Ні, краще так: $2 a + 8 b = 2 (a + 4 b)$ . Застосуємо нерівність до $a$ та $4 b$ : $a + 4 b \geq 2 4 ab = 4 ab$ . Помноживши на 2, отримаємо $2 a + 8 b \geq 8 ab$ .
Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6)$ . Застосуємо нерівність $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ до кожного множника окремо: $a^{2} + 2 \geq 22 a$ , $b^{2} + 3 \geq 23 b$ , $c^{2} + 6 \geq 26 c$ . Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6) \geq (22 a) (23 b) (26 c) = 836 ab c = 8 \cdot 6 ab c = 48 ab c$ .
Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a + 2 b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{2 b} + 2 b \cdot \frac{1}{a} + 2 b \cdot \frac{1}{2 b} = 1 + \frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a}$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до двох останніх доданків: $\frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a} \geq 2 \frac{a}{2 b} \cdot \frac{2 b}{a} = 2$ . Отже, вираз дорівнює $2 + 2 = 4$ .
Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму чотирьох доданків: $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ . Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^{4}, b^{4}, c^{4}, d^{4}$ : $\frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} + d ^{4}}{4} \geq 4 a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{4} \cdot d^{4} = 4 (ab c d)^{4} = ab c d$ . Помноживши на 4, отримаємо $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Завдання 345

Нерівність між сумою квадратів і подвоєним добутком

Довести, що сума квадратів двох будь-яких дійсних чисел не менша від їх подвоєного добутку.

Розв’язання

Розглянемо вираз $(x - y)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(x - y)^{2} \geq 0$ .
Розкриємо дужки у виразі $(x - y)^{2}$ : $x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0$ .
Додамо до обох частин нерівності $2 x y$ : $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ .

Відповідь:

Сума квадратів двох дійсних чисел завжди більша або дорівнює їх подвоєному добутку ( $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ).

Завдання 346

Порівняння суми квадратів та квадрата суми

а) порівняти $a^{2} + b^{2}$ і $(a + b)^{2}$ , де $a > 0, b > 0$ ;
б) порівняти $a^{2} + b^{2}$ і $(a + b)^{2}$ , де $a < 0, b < 0$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки у виразі $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Порівняємо з першим виразом $a^{2} + b^{2}$ . Різниця дорівнює $(a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} + b^{2}) = 2 ab$ .
У пункті а) числа додатні, отже добуток $ab > 0$ , тому квадрат суми більший. У пункті б) числа від'ємні, але їхній добуток $ab$ додатний (мінус помножений на мінус дає плюс), тому знову квадрат суми більший.

Відповідь:

а) $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2}$ ; б) $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2}$ .

Завдання 347

Доведення нерівності між півсумою квадратів та квадратом півсуми

Довести, що $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{2}$ для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$ .

Розв’язання

Помножимо обидві частини нерівності на 4, щоб позбутися дробів: $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$ .
Розкриємо дужки у правій частині: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Перенесемо всі доданки в ліву частину: $2 a^{2} + 2 b^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) \geq 0$ , що дає $a^{2} - 2 ab + b^{2} \geq 0$ .
Записуємо це як $(a - b)^{2} \geq 0$ , що є істинним для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$ .

Відповідь:

Нерівність доведено, оскільки $(a - b)^{2} \geq 0$ завжди виконується.

Завдання 348

Доведення числової нерівності з дробами

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} < 1$ ;
б) $\frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{10 0 ^{2}} < 1$ .

Розв’язання

а) 1. Запишемо перший доданок як $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , другий як $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ і так далі.
Сума всіх членів: $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$ .
Після скорочення залишається $1 - \frac{1}{100} = 0, 99$ , що менше за 1.
б) 1. Оцінимо кожен член: $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ для $k > 1$ .
Сума почне з $\frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$ .
Скорочення дасть $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{100} = 0, 75 - 0, 01 = 0, 74 < 1$ . (Або простіше: сума менша за $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots$ , але краще використати оцінку через розщеплення).

Відповідь:

а) Сума дорівнює $0, 99 < 1$ ; б) Сума менша за 1 (конкретно $\approx 0, 74$ ), тому нерівність виконується.

Завдання 349

Максимум добутку при лінійному обмеженні

Знайти найбільше значення виразу $ab$ , якщо $2 a + 3 b = 12$ і $a > 0, b > 0$ .

Розв’язання

Виразимо $b$ з умови рівняння: $3 b = 12 - 2 a \Rightarrow b = 4 - \frac{2}{3} a$ . Оскільки $b > 0$ , маємо $4 - \frac{2}{3} a > 0 \Rightarrow a < 6$ . Також $a > 0$ .
Запишемо вираз для добутку: $ab = a (4 - \frac{2}{3} a) = 4 a - \frac{2}{3} a^{2}$ .
Знайдемо вершину параболи $y = - \frac{2}{3} x^{2} + 4 x$ (вона відкрита вниз, тому це максимум). Координата вершини $x_{0} = - \frac{b _{коеф}}{2 a _{коеф}} = - \frac{4}{2 \cdot ( - \frac{2}{3} )} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 3$ .
Знайдемо значення $b$ при $a = 3$ : $b = 4 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 4 - 2 = 2$ . Перевірка: $2 (3) + 3 (2) = 6 + 6 = 12$ .
Обчислимо максимальний добуток: $ab = 3 \cdot 2 = 6$ .

Відповідь:

Найбільше значення виразу $ab$ дорівнює $6$ .