ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 66

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities

Завдання 350

Розв'язання раціональних рівнянь

а) $\frac{4}{x + 3} = - 2 x$ ; б) $\frac{3}{x + 3} + \frac{5 x}{x - 1} = 1$ .

Розв’язання

а) ОДЗ: $x \neq = - 3$ . Помножимо на $x + 3$ : $4 = - 2 x (x + 3)$ . Розкриємо дужки: $4 = - 2 x^{2} - 6 x$ . Перенесемо все вліво: $2 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ . Поділимо на 2: $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ . Знайдемо корені за формулою або розкладанням: $(x + 1) (x + 2) = 0$ , отже $x_{1} = - 1, x_{2} = - 2$ . Обидва корені входять до ОДЗ.
б) ОДЗ: $x \neq = - 3$ і $x \neq = 1$ . Спільний знаменник $(x + 3) (x - 1)$ . Помножимо на нього: $3 (x - 1) + 5 x (x + 3) = (x + 3) (x - 1)$ . Розкриємо дужки: $3 x - 3 + 5 x^{2} + 15 x = x^{2} + 2 x - 3$ . Зведемо до стандартного вигляду: $4 x^{2} + 16 x = 0$ . Виносимо спільний множник: $4 x (x + 4) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0, x_{2} = - 4$ . Обидва корені входять до ОДЗ.

Відповідь:

а) $- 1; - 2$ ; б) $0; - 4$ .

Знаходження коренів рівняння за відомим коренем

Один із коренів рівняння $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + a = 0$ дорівнює $- 2$ . Потрібно знайти решту коренів.

Розв’язання

Підставимо $x = - 2$ у рівняння: $(- 2)^{3} + 2 (- 2)^{2} - 9 (- 2) + a = 0$ . Обчислимо: $- 8 + 8 + 18 + a = 0$ , звідки $a = - 18$ .
Запишемо повне рівняння: $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ . Оскільки $- 2$ — корінь, то $(x + 2)$ є дільником. Поділимо многочлен на $(x + 2)$ або групуванням: $x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$ . Виносимо спільний множник: $(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$ .
Розкладемо різницю квадратів: $(x + 2) (x - 3) (x + 3) = 0$ . Корені: $x_{1} = - 2, x_{2} = 3, x_{3} = - 3$ .

Відповідь:

Решта коренів: $3; - 3$ .

Встановлення відповідності функцій і графіків

Потрібно зіставити формули функцій (1–4) з їх графіками (А–Д).
1 $y = 0, 5 x$
2 $y = x$
3 $y = x^{2}$
4 $y = 2 - x$

Розв’язання

Формула 1 ( $y = 0, 5 x$ ) описує пряму, що проходить через початок координат $(0; 0)$ і піднімається вгору. Це графік Б.
Формула 3 ( $y = x^{2}$ ) описує параболу з вершиною в точці $(0; 0)$ , розкривається вгору. Це графік А.
Формула 2 ( $y = x$ ) визначена тільки для $x \geq 0$ , проходить через $(0; 0)$ і йде вгору, але вигнута. Це графік Д.
Формула 4 ( $y = 2 - x$ ) описує пряму зі схилом $- 1$ (падає вниз), яка перетинає вісь $O y$ у точці $(0; 2)$ . Це графік В.

Відповідь:

1 — Б; 2 — Д; 3 — А; 4 — В.