Сторінка 64

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки: $4a^2-1<4a^2$. Віднімаємо $4a^2$ від обох частин: $-1<0$. Це вірно, отже нерівність справджується.

2. Пункт б): Розкриваємо дужки: $3a-3-2a+4<a+5\Rightarrow a+1<a+5$. Віднімаємо $a$ від обох частин: $1<5$. Це вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2+2a-8<a^2+2a+1$. Скорочуємо $a^2$ і $2a$: $-8<1$. Це вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки: $a^2-3a-10<a^2-3a-4$. Скорочуємо $a^2$ і $-3a$: $-10<-4$. Це вірно.

5. Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $a^2-6a+9>a^2-6a$. Скорочуємо $a^2$ і $-6a$: $9>0$. Це вірно.

6. Пункт д): Розкриваємо дужки: $a^2+2a+1-5a>a^2-3a\Rightarrow a^2-3a+1>a^2-3a$. Скорочуємо $a^2$ і $-3a$: $1>0$. Це вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки: $9a^2-4<9a^2$. Віднімаємо $9a^2$: $-4<0$. Вірно.

2. Пункт б): Розкриваємо дужки: $6a-6-10a-15>-4a-32\Rightarrow -4a-21>-4a-32$. Додаємо $4a$: $-21>-32$. Вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2-5a-14<a^2-5a+4$. Скорочуємо $a^2$ і $-5a$: $-14<4$. Вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки: $a^2-4a-5<a^2-4a+4$. Скорочуємо $a^2$ і $-4a$: $-5<4$. Вірно.

5. Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $a^2+8a+16>a^2+8a$. Скорочуємо $a^2$ і $8a$: $16>0$. Вірно.

6. Пункт д): Розкриваємо дужки: $a^2-8a+16+3a>a^2-5a+1\Rightarrow a^2-5a+16>a^2-5a+1$. Скорочуємо $a^2$ і $-5a$: $16>1$. Вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Записуємо як повний квадрат: $(3a-2{)}^2\ge 0$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, нерівність вірна.

2. Пункт б): Розкриваємо дужки: $a^2+6a+1\ge 4a$. Переносимо $4a$: $a^2+2a+1\ge 0$. Це $(a+1{)}^2\ge 0$, що вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2+2a+1\ge 4a$. Переносимо $4a$: $a^2-2a+1\ge 0$. Це $(a-1{)}^2\ge 0$, що вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки: $(a^2+6a+9)+(a^2-6a+9)\ge 18\Rightarrow 2a^2+18\ge 18$. Віднімаємо $18$: $2a^2\ge 0$. Оскільки $a^2\ge 0$, то $2a^2\ge 0$ вірно.

5. Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $100+20a\le a^2+20a+100$. Віднімаємо $100$ і $20a$: $0\le a^2$. Це вірно.

6. Пункт д): Множимо на 4: $a^2+4\ge 4a$. Переносимо $4a$: $a^2-4a+4\ge 0$. Це $(a-2{)}^2\ge 0$, що вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки в лівій частині: $4a^2-12a+9$. Зауважуємо, що це повний квадрат $(2a-3{)}^2$. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(2a-3{)}^2⩾0$. Нерівність доведено.

2. Пункт б): Переносимо $6a-1$ у ліву частину: $a^2+4a-6a+1⩾0$, що дає $a^2-2a+1⩾0$. Це повний квадрат $(a-1{)}^2⩾0$, що завжди вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2+6a+9⩾12a$. Переносимо $12a$ у ліву частину: $a^2-6a+9⩾0$. Це повний квадрат $(a-3{)}^2⩾0$, що вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки у лівій частині: $a^2-4a+4+a^2+4a+4=2a^2+8$. Переносимо $8$ у ліву частину: $2a^2⩾0$. Оскільки $a^2⩾0$, то $2a^2⩾0$ також вірно.

5. Пункт ґ): Розкриваємо дужки в правій частині: $(a-6{)}^2=a^2-12a+36$. Переносимо $12(3-a)$ у праву частину (або розкрито вираз переносимо): $a^2-12a+36-36+12a⩾0$, що спрощується до $a^2⩾0$. Це завжди вірно.

6. Пункт д): Розкриваємо дріб: $\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2}⩾a$. Переносимо всі доданки в ліву частину: $a^2-2a+1⩾0$. Це повний квадрат $(a-1{)}^2⩾0$, що вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Групуємо доданки: $(a^2+2a+1)+1=(a+1{)}^2+1$. Оскільки $(a+1{)}^2⩾0$, то сума з $1$ завжди більша за $0$. Нерівність доведено.

2. Пункт б): Переносимо $2a$: $a^2-2a+3>0$. Додаємо і віднімаємо $1$: $(a-1{)}^2+2>0$. Оскільки квадрат невід'ємний, то сума з $2$ завжди додатна.

3. Пункт в): Розглядаємо вираз як повний квадрат: $2(a^2-5a+12,5)$. Краще розкрити дужки в початковому вигляді або поділити на $2$: $a^2-5a+12,5>0$. Дискримінант $D=25-4\cdot 12,5<0$, значить коренів немає і парабола зворотно спрямована. Або: $(a-2,5{)}^2+6,25>0$.

4. Пункт г): Переносимо $2a$: $3a^2-2a+1>0$. Дискримінант $D=(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8<0$. Оскільки коефіцієнт при $a^2$ додатний і коренів немає, вираз завжди додатний.

5. Пункт ґ): Переносимо $16a$: $a^2-16a+65>0$. Дискримінант $D=256-260=-4<0$. Коефіцієнт при $a^2$ додатний, отже вираз завжди додатний.

6. Пункт д): Переносимо $18a^2$: $a^4-18a^2+82>0$. Це квадрат двочлена: $(a^2-9{)}^2+82-81=(a^2-9{)}^2+1>0$. Сума квадрата та одиниці завжди додатна.

Розв’язання

1. Пункт а): Переносимо нічого (вже в лівій частині). Записуємо як повний квадрат: $(a-1{)}^2+4$. Оскільки $(a-1{)}^2⩾0$, то сума з $4$ завжди більша за $0$.

2. Пункт б): Переносимо $4a$: $a^2-4a+5>0$. Записуємо як повний квадрат: $(a-2{)}^2+1>0$. Сума квадрата та одиниці завжди додатна.

3. Пункт в): Розглядаємо вираз $2a^2+6a+9$. Дискримінант $D=6^2-4\cdot 2\cdot 9=36-72=-36<0$. Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $a^2$ додатний, вираз завжди додатний. Також можна поділити на $2$: $(a+1,5{)}^2+4,5>0$.

4. Пункт г): Переносимо $2a$: $2a^2-2a+1>0$. Дискримінант $D=(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$. Коефіцієнт при $a^2$ додатний, отже вираз завжди додатний.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а): $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$. Оскільки корені рівняння $x^2-3x+2=0$ дорівнюють $1$ і $2$, то парабола відкривається вгору і знаходиться вище осі $Ox$ при $x<1$. Отже, для всіх $x<0$ виконується $(x-1)(x-2)>0$.

2. Розглянемо пункт б): Перепишемо як $x^2-10x+9>0$. Корені рівняння $x^2-10x+9=0$ дорівнюють $1$ і $9$. Парабола лежить вище осі при $x<1$ або $x>9$. Оскільки $x<0$, то умова виконується.

3. Розглянемо пункт в): $(x-3)(3-x)=-(x-3{)}^2$. Квадрат будь-якого числа невід'ємний, тому $-(x-3{)}^2\le 0$. Рівність нулю можлива лише при $x=3$, але за умовою $x<0$, отже, вираз завжди від'ємний: $(x-3)(3-x)<0$.

4. Розглянемо пункт г): $(2-x)(x-3)=-x^2+5x-6$. Корені рівняння $-x^2+5x-6=0$ дорівнюють $2$ і $3$. Парабола відкривається вниз і знаходиться нижче осі між коренями ($2<x<3$). Поза цією областю вона вище осі. Але за умовою $x<0$, що є частиною області, де парабола лежить вище осі? Ні, перевіримо знаки множників: при $x<0$, $(2-x)>0$ (додатний), а $(x-3)<0$ (від'ємний). Добуток додатного на від'ємне є від'ємним. Отже, $(2-x)(x-3)<0$.

Розв’язання

1. Пункт а): $(x+3)(x+7)=x^2+10x+21$. Корені рівняння $x^2+10x+21=0$ дорівнюють $-3$ і $-7$. Парабола лежить вище осі при $x<-7$ або $x>-3$. Оскільки за умовою $x>0$, то умова виконується.

2. Пункт б): Вираз $-x(x+2)(x+4)$. При $x>0$: множник $-x$ від'ємний, $(x+2)$ додатний, $(x+4)$ додатний. Добуток трьох множників, де один від'ємний і два додатні, завжди від'ємний. Отже, $-x(x+2)(x+4)<0$.

3. Пункт в): Перепишемо як $x^2+5x+2>0$. Дискримінант $D=25-8=17$. Корені: $\frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}$. Парабола лежить вище осі поза коренями. Оскільки $x>0$, а менший корінь від'ємний, більший додатний ($\approx -0.56$), то для всіх $x>0$ (окрім невеликого відрізка біля нуля? Ні, корені: $\frac{-5+4,12}{2}\approx -0,44$ і $\frac{-5-4,12}{2}\approx -4,56$. Обидва корені від'ємні!). Отже, при $x>0$ тричлен завжди додатний.

Розв’язання

1. Пункт а): Оскільки $c>0$, то за нерівністю про середнє арифметичне і геометричне маємо $\frac{c+\frac{1}{c}}{2}\ge \sqrt{c\cdot \frac{1}{c}}=\sqrt{1}=1$. Помноживши на 2, отримуємо $c+\frac{1}{c}\ge 2$. Рівність досягається при $c=1$.

2. Пункт б): Розкриємо дужки у виразі $9c+\frac{1}{c}-6$ або зведемо до спільного знаменника: $\frac{9c^2-6c+1}{c}=\frac{(3c-1{)}^2}{c}$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а $c>0$, то дріб завжди $\ge 0$. Отже, $9c+\frac{1}{c}\ge 6$. Рівність при $c=\frac{1}{3}$.

3. Пункт в): Розкриємо дужки: $(c+1)\left(\frac{1}{c}+1\right)=c\cdot \frac{1}{c}+c+\frac{1}{c}+1=1+c+\frac{1}{c}+1=c+\frac{1}{c}+2$. З пункту а) знаємо, що $c+\frac{1}{c}\ge 2$. Тоді $c+\frac{1}{c}+2\ge 2+2=4$. Отже, $(c+1)\left(\frac{1}{c}+1\right)\ge 4$. Рівність при $c=1$.