ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 63

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 2 (с. 63)–330 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities

Завдання 2 (с. 63)

Нерівність з двома змінними

Довести, що при $a \geq 0$ і $b \geq 0$ виконується нерівність $(a + 2) (b + 8) \geq 16 ab$ .

Розв’язання

Запишемо нерівність для пари чисел $a$ і $2$ : $\frac{a + 2}{2} \geq a \cdot 2 = 2 a$ .
Запишемо нерівність для пари чисел $b$ і $8$ : $\frac{b + 8}{2} \geq b \cdot 8 = 8 b$ .
Перемножимо ці дві нерівності (оскільки обидві частини додатні): $(a + 2) (b + 8) \geq 2 2 a \cdot 2 8 b = 4 16 ab$ .
Спростимо вираз у правій частині: $4 16 ab = 4 \cdot 4 ab = 16 ab$ .

Відповідь:

$(a + 2) (b + 8) \geq 16 ab$

Завдання 3 (с. 63)

Середнє арифметичне між двома числами

Довести, що якщо $a < b$ , то $a < \frac{a + b}{2} < b$ . Сформулювати це твердження.

Розв’язання

Почнемо з умови $a < b$ . Додамо до обох частин число $a$ : $a + a < a + b$ , тобто $2 a < a + b$ . Поділимо на 2: $a < \frac{a + b}{2}$ .
Знову використаємо $a < b$ . Додамо до обох частин число $b$ : $a + b < b + b$ , тобто $a + b < 2 b$ . Поділимо на 2: $\frac{a + b}{2} < b$ .
Об'єднаємо отримані нерівності в одну подвійну: $a < \frac{a + b}{2} < b$ .

Відповідь:

Доведено, що середнє арифметичне двох різних чисел більше меншого з них і менше більшого.

Завдання 327

Обчислення середніх величин

Знайти середнє арифметичне ( $\frac{a + b}{2}$ ) та середнє геометричне ( $ab$ ) для пар чисел: а) 4 і 9; б) 38 і 0; в) 50 і 8; г) 0,2 і 0,8.

Розв’язання

а) Арифметичне: $\frac{4 + 9}{2} = 6, 5$ . Геометричне: $4 \cdot 9 = 36 = 6$ .
б) Арифметичне: $\frac{38 + 0}{2} = 19$ . Геометричне: $38 \cdot 0 = 0$ .
в) Арифметичне: $\frac{50 + 8}{2} = 29$ . Геометричне: $50 \cdot 8 = 400 = 20$ .
г) Арифметичне: $\frac{0 , 2 + 0 , 8}{2} = 0, 5$ . Геометричне: $0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16 = 0, 4$ .

Відповідь:

а) $6, 5$ і $6$ ; б) $19$ і $0$ ; в) $29$ і $20$ ; г) $0, 5$ і $0, 4$ .

Завдання 328

Визначення правильної нерівності

Яка з наведених нерівностей є правильною при всіх допустимих значеннях змінних? Варіанти: А) $x^{2} > 0$ , Б) $∣ x ∣ > 0$ , В) $- x^{2} \leq 0$ , Г) $0 x > 0$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант А: якщо $x = 0$ , то $0^{2} > 0 \Rightarrow 0 > 0$ — це неправильно, тому варіант А хибний.
Перевіримо варіант Б: якщо $x = 0$ , то $∣0∣ > 0 \Rightarrow 0 > 0$ — це неправильно, тому варіант Б хибний.
Перевіримо варіант Г: вираз $0 x$ завжди дорівнює $0$ . Нерівність $0 > 0$ є хибною, тому варіант Г неправильний.
Перевіримо варіант В: якщо помножити будь-яке число на $- 1$ , воно стане не більше нуля (бо квадрат завжди $\geq 0$ , тоді $- квадрат \leq 0$ ). Отже, нерівність $- x^{2} \leq 0$ виконується для будь-якого $x$ .

Відповідь:

Завдання 330

Перевірка правильності нерівностей

а) $(a - 1) (a + 1) < a^{2}$ ; б) $9 - 12 a + 4 a^{2} \geq 0$ ; в) $a^{2} + 6 a + 10 > 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки в лівій частині: $a^{2} - 1 < a^{2}$ . Віднімаємо $a^{2}$ від обох частин: $- 1 < 0$ . Це завжди істина, але оскільки умовою є суто «менше» (не «менше або дорівнює»), а при $a = 1$ ліва частина стає рівною правій ( $0 = 0$ ), то нерівність не виконується для всіх випадків. Однак, якщо розглядати як твердження про властивість виразу: оскільки $- 1 < 0$ , то нерівність вірна для будь-якого дійсного числа $a$ .
Пункт б): Записуємо вираз у вигляді повного квадрата: $(3 - 2 a)^{2} \geq 0$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не від'ємний, ця нерівність виконується завжди. Рівність досягається при $3 - 2 a = 0$ , тобто $a = 1, 5$ .
Пункт в): Розглядаємо квадратне тричлен $a^{2} + 6 a + 10$ . Знаходимо дискримінант: $D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = - 4$ . Оскільки $D < 0$ і коефіцієнт при $a^{2}$ додатний, тричлен завжди додатний. Отже, $a^{2} + 6 a + 10 > 0$ для всіх $a$ .

Відповідь:

а) Так (вірна), б) Так (вірна), в) Так (вірна).