ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 62

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–4 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities

Завдання 1

Означення доведення та спростування твердження

Пояснити, що означає «довести твердження» і що означає «спростувати твердження».

Розв’язання

Для доведення треба показати, що нерівність виконується завжди при всіх можних значеннях змінних.
Для спростування достатньо знайти хоча б одне значення змінної, при якому нерівність не виконується (контрприклад).

Відповідь:

Довести твердження — це показати його істинність для всіх допустимих значень змінних. Спростувати твердження — це довести його хибність, знайшовши хоча б одне значення змінної, при якому воно не виконується (контрприклад).

Завдання 2

Означення доведення нерівності

Пояснити, що означає «довести нерівність».

Розв’язання

У тексті сказано, що «спростувати нерівність зі змінними означає показати, що дана нерівність хибна хоч би при одному значенні змінної».
Отже, щоб довести (спростувати) нерівність, треба знайти конкретний контрприклад.

Відповідь:

Довести (спростувати) нерівність зі змінними означає показати, що вона хибна хоч би при одному значенні змінної.

Завдання 3

Означення середнього арифметичного та геометричного

Сформулювати означення середнього арифметичного та середнього геометричного двох чисел.

Розв’язання

Середнє арифметичне двох чисел $a$ і $b$ дорівнює $\frac{a + b}{2}$ .
Середнє геометричне двох чисел $a$ і $b$ дорівнює $ab$ .

Відповідь:

Середнє арифметичне двох чисел — це їх сума, поділена на 2 ( $\frac{a + b}{2}$ ). Середнє геометричне двох чисел — це квадратний корень із їх добутку ( $ab$ ).

Завдання 4

Порівняння середнього арифметичного та геометричного

Порівняти середнє арифметичне і середнє геометричне двох додатних чисел.

Розв’язання

Записуємо нерівність, що випливає з властивостей кореня та квадрата: $ab \leq \frac{a + b}{2}$ .
Висновуємо, що середнє геометричне менше або дорівнює середньому арифметичному.

Відповідь:

Середнє геометричне двох додатних чисел завжди менше або дорівнює їхньому середньому арифметичному ( $ab \leq \frac{a + b}{2}$ ). Рівність має місце тільки тоді, коли числа рівні.