Завдання 348, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 348

Доведення числової нерівності з дробами

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} < 1$ ;
б) $\frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{10 0 ^{2}} < 1$ .

Розв’язання

а) 1. Запишемо перший доданок як $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , другий як $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ і так далі.
Сума всіх членів: $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$ .
Після скорочення залишається $1 - \frac{1}{100} = 0, 99$ , що менше за 1.
б) 1. Оцінимо кожен член: $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ для $k > 1$ .
Сума почне з $\frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$ .
Скорочення дасть $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{100} = 0, 75 - 0, 01 = 0, 74 < 1$ . (Або простіше: сума менша за $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots$ , але краще використати оцінку через розщеплення).

Відповідь:

а) Сума дорівнює $0, 99 < 1$ ; б) Сума менша за 1 (конкретно $\approx 0, 74$ ), тому нерівність виконується.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 348 с. 65

Доведення числової нерівності з дробами

Умова

Що треба знати

Для першого завдання використаємо метод розщеплення на частини (телескопічний ряд): $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ . Для другого завдання використаємо оцінку кожного доданка, замінюючи його меншим виразом.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

а) Замініть кожен дріб $\frac{1}{n ( n + 1 )}$ на різницю $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ і зведіть доданки в суму. б) Порівняйте кожен член ряду $\frac{1}{k ^{2}}$ з меншим дробом, наприклад, $\frac{1}{k ( k - 1 )}$ або просто оцініть загальну суму.

Розв’язання крок за кроком

а) 1. Запишемо перший доданок як $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , другий як $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ і так далі.
Сума всіх членів: $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$ .
Після скорочення залишається $1 - \frac{1}{100} = 0, 99$ , що менше за 1.
б) 1. Оцінимо кожен член: $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ для $k > 1$ .
Сума почне з $\frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$ .
Скорочення дасть $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{100} = 0, 75 - 0, 01 = 0, 74 < 1$ . (Або простіше: сума менша за $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots$ , але краще використати оцінку через розщеплення).

Відповідь:

а) Сума дорівнює $0, 99 < 1$ ; б) Сума менша за 1 (конкретно $\approx 0, 74$ ), тому нерівність виконується.

Розбір зрозумілий?