Завдання 347, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 347

Доведення нерівності між півсумою квадратів та квадратом півсуми

Довести, що $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{2}$ для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$ .

Розв’язання

Помножимо обидві частини нерівності на 4, щоб позбутися дробів: $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$ .
Розкриємо дужки у правій частині: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Перенесемо всі доданки в ліву частину: $2 a^{2} + 2 b^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) \geq 0$ , що дає $a^{2} - 2 ab + b^{2} \geq 0$ .
Записуємо це як $(a - b)^{2} \geq 0$ , що є істинним для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$ .

Відповідь:

Нерівність доведено, оскільки $(a - b)^{2} \geq 0$ завжди виконується.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 347 с. 65

Доведення нерівності між півсумою квадратів та квадратом півсуми

Умова

Довести, що $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{2}$ для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$ .

Що треба знати

Цю нерівність можна довести, розклавши праву частину на множники або скориставшись відомою властивістю $(a - b)^{2} \geq 0$ . Квадрат різниці двох чисел завжди невід'ємний.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрийте дужки у виразі $(\frac{a + b}{2})^{2}$ та помножте на 2, щоб порівняти з лівою частиною $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$ . Спробуйте перенести всі доданки в одну частину нерівності.

Розв’язання крок за кроком

Помножимо обидві частини нерівності на 4, щоб позбутися дробів: $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$ .
Розкриємо дужки у правій частині: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Перенесемо всі доданки в ліву частину: $2 a^{2} + 2 b^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) \geq 0$ , що дає $a^{2} - 2 ab + b^{2} \geq 0$ .
Записуємо це як $(a - b)^{2} \geq 0$ , що є істинним для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$ .

Відповідь:

Нерівність доведено, оскільки $(a - b)^{2} \geq 0$ завжди виконується.

Розбір зрозумілий?