Завдання 346, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 346

Порівняння суми квадратів та квадрата суми

а) порівняти $a^{2} + b^{2}$ і $(a + b)^{2}$ , де $a > 0, b > 0$ ;
б) порівняти $a^{2} + b^{2}$ і $(a + b)^{2}$ , де $a < 0, b < 0$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки у виразі $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Порівняємо з першим виразом $a^{2} + b^{2}$ . Різниця дорівнює $(a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} + b^{2}) = 2 ab$ .
У пункті а) числа додатні, отже добуток $ab > 0$ , тому квадрат суми більший. У пункті б) числа від'ємні, але їхній добуток $ab$ додатний (мінус помножений на мінус дає плюс), тому знову квадрат суми більший.

Відповідь:

а) $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2}$ ; б) $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 346 с. 65

Порівняння суми квадратів та квадрата суми

Умова

а) порівняти $a^{2} + b^{2}$ і $(a + b)^{2}$ , де $a > 0, b > 0$ ;
б) порівняти $a^{2} + b^{2}$ і $(a + b)^{2}$ , де $a < 0, b < 0$ .

Що треба знати

Для порівняння виразів можна розкрити дужки у другому виразі та скоротити спільні доданки. Знаючи, що квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний ( $x^{2} \geq 0$ ), можна визначити знак різниці.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрийте дужки у виразі $(a + b)^{2}$ . Відніміть від нього $a^{2} + b^{2}$ . Оскільки залишиться доданок, що містить квадрат суми змінних, підкажіть знак різниці залежно від умови (додатні чи від'ємні числа).

Розв’язання крок за кроком

Розкриємо дужки у виразі $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Порівняємо з першим виразом $a^{2} + b^{2}$ . Різниця дорівнює $(a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} + b^{2}) = 2 ab$ .
У пункті а) числа додатні, отже добуток $ab > 0$ , тому квадрат суми більший. У пункті б) числа від'ємні, але їхній добуток $ab$ додатний (мінус помножений на мінус дає плюс), тому знову квадрат суми більший.

Відповідь:

а) $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2}$ ; б) $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2}$ .

Розбір зрозумілий?