Завдання 345, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 345

Нерівність між сумою квадратів і подвоєним добутком

Довести, що сума квадратів двох будь-яких дійсних чисел не менша від їх подвоєного добутку.

Розв’язання

Розглянемо вираз $(x - y)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(x - y)^{2} \geq 0$ .
Розкриємо дужки у виразі $(x - y)^{2}$ : $x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0$ .
Додамо до обох частин нерівності $2 x y$ : $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ .

Відповідь:

Сума квадратів двох дійсних чисел завжди більша або дорівнює їх подвоєному добутку ( $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 345 с. 65

Нерівність між сумою квадратів і подвоєним добутком

Умова

Довести, що сума квадратів двох будь-яких дійсних чисел не менша від їх подвоєного добутку.

Що треба знати

Використовуємо властивість квадрата різниці двох чисел: $(x - y)^{2} \geq 0$ для будь-яких дійсних $x, y$ . Розкриваючи дужки, отримуємо $x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0$ , звідки випливає $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуйте перетворити вираз $x^{2} + y^{2} - 2 x y$ до вигляду квадрата різниці двох чисел.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо вираз $(x - y)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(x - y)^{2} \geq 0$ .
Розкриємо дужки у виразі $(x - y)^{2}$ : $x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0$ .
Додамо до обох частин нерівності $2 x y$ : $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ .

Відповідь:

Сума квадратів двох дійсних чисел завжди більша або дорівнює їх подвоєному добутку ( $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ).

Розбір зрозумілий?