Завдання 344, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 344

Нерівності з коренями та степенями (продовження)

Довести нерівності при заданих умовах на змінні $a, b, c, d$ :
а) $2 a + 8 b \geq 8 ab$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0$ ;
б) $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6) \geq 48 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$ ;
в) $(a + 2 b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) \geq 4$ , якщо $a > 0, b > 0$ ;
г) $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0, d \geq 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Запишемо $2 a + 8 b$ як суму двох добутків: $4 \cdot a + 4 \cdot 2 b$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до виразу $\frac{4 a + 8 b}{2} \geq (4 a) (8 b)$ , що дає $2 a + 8 b \geq 2 32 ab = 2 \cdot 42 ab = 8 2 ab$ ? Ні, краще так: $2 a + 8 b = 2 (a + 4 b)$ . Застосуємо нерівність до $a$ та $4 b$ : $a + 4 b \geq 2 4 ab = 4 ab$ . Помноживши на 2, отримаємо $2 a + 8 b \geq 8 ab$ .
Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6)$ . Застосуємо нерівність $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ до кожного множника окремо: $a^{2} + 2 \geq 22 a$ , $b^{2} + 3 \geq 23 b$ , $c^{2} + 6 \geq 26 c$ . Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6) \geq (22 a) (23 b) (26 c) = 836 ab c = 8 \cdot 6 ab c = 48 ab c$ .
Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a + 2 b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{2 b} + 2 b \cdot \frac{1}{a} + 2 b \cdot \frac{1}{2 b} = 1 + \frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a}$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до двох останніх доданків: $\frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a} \geq 2 \frac{a}{2 b} \cdot \frac{2 b}{a} = 2$ . Отже, вираз дорівнює $2 + 2 = 4$ .
Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму чотирьох доданків: $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ . Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^{4}, b^{4}, c^{4}, d^{4}$ : $\frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} + d ^{4}}{4} \geq 4 a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{4} \cdot d^{4} = 4 (ab c d)^{4} = ab c d$ . Помноживши на 4, отримаємо $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 344 с. 65

Нерівності з коренями та степенями (продовження)

Умова

Що треба знати

Використовуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (для двох чисел: $x + y \geq 2 x y$ ; для чотирьох чисел: $\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4}}{4} \geq 4 x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) зведіть $2 a + 8 b$ до вигляду суми двох добутків, щоб під коренем отримати $ab$ . Для пункту б) розкрийте дужки і застосуйте нерівність до кожного множника окремо.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Запишемо $2 a + 8 b$ як суму двох добутків: $4 \cdot a + 4 \cdot 2 b$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до виразу $\frac{4 a + 8 b}{2} \geq (4 a) (8 b)$ , що дає $2 a + 8 b \geq 2 32 ab = 2 \cdot 42 ab = 8 2 ab$ ? Ні, краще так: $2 a + 8 b = 2 (a + 4 b)$ . Застосуємо нерівність до $a$ та $4 b$ : $a + 4 b \geq 2 4 ab = 4 ab$ . Помноживши на 2, отримаємо $2 a + 8 b \geq 8 ab$ .
Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6)$ . Застосуємо нерівність $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ до кожного множника окремо: $a^{2} + 2 \geq 22 a$ , $b^{2} + 3 \geq 23 b$ , $c^{2} + 6 \geq 26 c$ . Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^{2} + 2) (b^{2} + 3) (c^{2} + 6) \geq (22 a) (23 b) (26 c) = 836 ab c = 8 \cdot 6 ab c = 48 ab c$ .
Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a + 2 b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{2 b} + 2 b \cdot \frac{1}{a} + 2 b \cdot \frac{1}{2 b} = 1 + \frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a}$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до двох останніх доданків: $\frac{a}{2 b} + \frac{2 b}{a} \geq 2 \frac{a}{2 b} \cdot \frac{2 b}{a} = 2$ . Отже, вираз дорівнює $2 + 2 = 4$ .
Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму чотирьох доданків: $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ . Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^{4}, b^{4}, c^{4}, d^{4}$ : $\frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} + d ^{4}}{4} \geq 4 a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{4} \cdot d^{4} = 4 (ab c d)^{4} = ab c d$ . Помноживши на 4, отримаємо $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \geq 4 ab c d$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Розбір зрозумілий?