Завдання 343, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 343

Нерівності з коренями та степенями

Довести нерівності при заданих умовах на змінні $a, b, c$ :
а) $12 a + 3 b \geq 12 ab$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0$ ;
б) $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8) \geq 64 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$ ;
в) $(3 a + b) (\frac{1}{3 a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ , якщо $a > 0, b > 0$ ;
г) $a^{4} + b^{4} + 2 c^{2} \geq 4 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Запишемо $12 a + 3 b$ як суму двох добутків: $6 \cdot 2 a + 3 \cdot b$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до виразу $\frac{6 \cdot 2 a + 3 \cdot b}{2} \geq (6 \cdot 2 a) \cdot (3 \cdot b)$ , що дає $12 a + 3 b \geq 2 36 ab = 12 ab$ .
Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8)$ . Застосуємо нерівність $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ (або $x + y \geq 2 x y$ ) до кожного множника окремо: $a^{2} + 2 \geq 22 a$ , $b^{2} + 4 \geq 4 b$ , $c^{2} + 8 \geq 42 c$ . Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8) \geq (22 a) (4 b) (42 c) = 64 ab c$ .
Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(3 a + b) (\frac{1}{3 a} + \frac{1}{b}) = 3 a \cdot \frac{1}{3 a} + 3 a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{3 a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a} + 1 = 2 + \frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a}$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до двох останніх доданків: $\frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a} \geq 2 \frac{3 a}{b} \cdot \frac{b}{3 a} = 2$ . Отже, вираз дорівнює $2 + 2 = 4$ .
Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму трьох доданків: $a^{4} + b^{4} + c^{2} + c^{2} \geq 4 ab c$ . Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^{4}, b^{4}, c^{2}, c^{2}$ : $\frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{2} + c ^{2}}{4} \geq 4 a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{2} \cdot c^{2} = 4 a^{4} b^{4} c^{4} = ab c$ . Помноживши на 4, отримаємо $a^{4} + b^{4} + 2 c^{2} \geq 4 ab c$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 343 с. 65

Нерівності з коренями та степенями

Умова

Що треба знати

Використовуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (нераз'єднана нерівність): для будь-яких невід'ємних чисел $x$ та $y$ виконується $\frac{x + y}{2} \geq x y$ , тобто $x + y \geq 2 x y$ . Також використовуємо властивість розширення множення: $(A + B) (C + D) = A C + A D + B C + B D$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) зведіть ліву частину до вигляду суми двох добутків і застосуйте нерівність $x + y \geq 2 x y$ для кожного доданка. Для пункту б) розкрийте дужки в лівій частині та застосуйте нерівність між середнім арифметичним і геометричним до кожного множника окремо, перемноживши отримані нерівності.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Запишемо $12 a + 3 b$ як суму двох добутків: $6 \cdot 2 a + 3 \cdot b$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до виразу $\frac{6 \cdot 2 a + 3 \cdot b}{2} \geq (6 \cdot 2 a) \cdot (3 \cdot b)$ , що дає $12 a + 3 b \geq 2 36 ab = 12 ab$ .
Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8)$ . Застосуємо нерівність $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ (або $x + y \geq 2 x y$ ) до кожного множника окремо: $a^{2} + 2 \geq 22 a$ , $b^{2} + 4 \geq 4 b$ , $c^{2} + 8 \geq 42 c$ . Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^{2} + 2) (b^{2} + 4) (c^{2} + 8) \geq (22 a) (4 b) (42 c) = 64 ab c$ .
Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(3 a + b) (\frac{1}{3 a} + \frac{1}{b}) = 3 a \cdot \frac{1}{3 a} + 3 a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{3 a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a} + 1 = 2 + \frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a}$ . Застосуємо нерівність $x + y \geq 2 x y$ до двох останніх доданків: $\frac{3 a}{b} + \frac{b}{3 a} \geq 2 \frac{3 a}{b} \cdot \frac{b}{3 a} = 2$ . Отже, вираз дорівнює $2 + 2 = 4$ .
Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму трьох доданків: $a^{4} + b^{4} + c^{2} + c^{2} \geq 4 ab c$ . Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^{4}, b^{4}, c^{2}, c^{2}$ : $\frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{2} + c ^{2}}{4} \geq 4 a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{2} \cdot c^{2} = 4 a^{4} b^{4} c^{4} = ab c$ . Помноживши на 4, отримаємо $a^{4} + b^{4} + 2 c^{2} \geq 4 ab c$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено.

Розбір зрозумілий?