а) Групуємо за змінними: (a2−2a+1)+(b2+6b+9)=(a−1)2+(b+3)2. Оскільки сума квадратів ≥0, то a2−2a+b2+6b+10≥0.
б) Перенесемо праву частину вліво: a2−2a+b2−2b+c2−2c+3=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2. Оскільки сума квадратів невід'ємна, нерівність виконується.
в) Помножимо на 2: 2(a2+b2+c2)=a2+b2+a2+c2+b2+c2. За властивістю x2+y2≥2xy маємо a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. Складаючи ці нерівності: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), звідки a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно c: 5c2+(2a)c+(2a2+1). Дискримінант Dc=(2a)2−4⋅5⋅(2a2+1)=4a2−40a2−20=−36a2−20. Оскільки Dc<0 і коефіцієнт при c2 додатний (5>0), то тричлен завжди додатний.
Використовуємо метод доповнення до повних квадратів. Для нерівностей з трьома змінними часто корисно розглядати вираз як суму квадратів або скористатися властивістю a2+b2≥2ab.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
а) Спробуй дописати числа так, щоб отримати (a−1)2 і (b+3)2. б) Перенеси всі члени вліво і розклади на квадрати. в) Помнож нерівність на 2 і скористайся властивістю x2+y2≥2xy.
Розв’язання крок за кроком
а) Групуємо за змінними: (a2−2a+1)+(b2+6b+9)=(a−1)2+(b+3)2. Оскільки сума квадратів ≥0, то a2−2a+b2+6b+10≥0.
б) Перенесемо праву частину вліво: a2−2a+b2−2b+c2−2c+3=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2. Оскільки сума квадратів невід'ємна, нерівність виконується.
в) Помножимо на 2: 2(a2+b2+c2)=a2+b2+a2+c2+b2+c2. За властивістю x2+y2≥2xy маємо a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. Складаючи ці нерівності: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), звідки a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно c: 5c2+(2a)c+(2a2+1). Дискримінант Dc=(2a)2−4⋅5⋅(2a2+1)=4a2−40a2−20=−36a2−20. Оскільки Dc<0 і коефіцієнт при c2 додатний (5>0), то тричлен завжди додатний.
