Завдання 341, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 341

Доведення нерівностей з квадратними тричленами

Довести, що: а) $a^{2} - ab + b^{2} \geq 0$ ; б) $a^{2} + 4 a + b^{2} - 10 b + 29 \geq 0$ ; в) $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ ; г) $8 a^{2} + 14 ab + 7 b^{2} + 1 > 0$ ; д) $(a + b + 1)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + 1)$ .

Розв’язання

а) Перетворимо на суму квадратів: $a^{2} - ab + b^{2} = (a - \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2}$ . Оскільки квадрати невід'ємні, то сума $\geq 0$ .
б) Групуємо за змінними: $(a + 2)^{2} + (b - 5)^{2} = a^{2} + 4 a + 4 + b^{2} - 10 b + 25 = a^{2} + 4 a + b^{2} - 10 b + 29$ . Оскільки сума квадратів $\geq 0$ , нерівність виконується.
в) Перенесемо праву частину: $a^{2} + b^{2} + 2 - 2 a - 2 b = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2}$ . Оскільки $(a - 1)^{2} \geq 0$ і $(b - 1)^{2} \geq 0$ , то сума $\geq 0$ , отже $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ .
г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно $a$ : $8 a^{2} + (14 b) a + (7 b^{2} + 1)$ . Дискримінант $D_{a} = (14 b)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (7 b^{2} + 1) = 196 b^{2} - 32 (7 b^{2} + 1) = 196 b^{2} - 224 b^{2} - 32 = - 28 b^{2} - 32$ . Оскільки $D_{a} < 0$ при будь-яких $a, b$ , а коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $8 > 0$ ), то тричлен завжди додатний.
д) Розкриємо дужки в лівій частині: $(a + b + 1)^{2} = a^{2} + b^{2} + 1 + 2 ab + 2 a + 2 b$ . Перенесемо все вправо: $3 (a^{2} + b^{2} + 1) - (a^{2} + b^{2} + 1 + 2 ab + 2 a + 2 b) = 2 a^{2} + 2 b^{2} - 2 ab - 2 a - 2 b + 2$ . Поділимо на 2: $a^{2} + b^{2} - ab - a - b + 1$ . Перетворимо на суму квадратів: $\frac{1}{2} (a - b)^{2} + \frac{1}{2} (a - 1)^{2} + \frac{1}{2} (b - 1)^{2} \geq 0$ . Отже, нерівність виконується.

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено; д) Доведено.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 341 с. 65

Доведення нерівностей з квадратними тричленами

Умова

Що треба знати

Для доведення нерівностей часто перетворюють різницю лівої та правої частин на суму квадратів, яка завжди невід'ємна ( $\geq 0$ ). Якщо в умові є суто додатні вирази (без змінних у знаменнику), достатньо показати, що дискримінант відносно однієї змінної від'ємний.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

а) Спробуй додати $\frac{1}{4} ab$ і відняти його, щоб отримати повний квадрат? Ні, краще розглянути це як квадрат двох чисел із залишком. Для інших пунктів перенеси все в одну частину і спробуй групувати члени.

Розв’язання крок за кроком

а) Перетворимо на суму квадратів: $a^{2} - ab + b^{2} = (a - \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2}$ . Оскільки квадрати невід'ємні, то сума $\geq 0$ .
б) Групуємо за змінними: $(a + 2)^{2} + (b - 5)^{2} = a^{2} + 4 a + 4 + b^{2} - 10 b + 25 = a^{2} + 4 a + b^{2} - 10 b + 29$ . Оскільки сума квадратів $\geq 0$ , нерівність виконується.
в) Перенесемо праву частину: $a^{2} + b^{2} + 2 - 2 a - 2 b = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2}$ . Оскільки $(a - 1)^{2} \geq 0$ і $(b - 1)^{2} \geq 0$ , то сума $\geq 0$ , отже $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ .
г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно $a$ : $8 a^{2} + (14 b) a + (7 b^{2} + 1)$ . Дискримінант $D_{a} = (14 b)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (7 b^{2} + 1) = 196 b^{2} - 32 (7 b^{2} + 1) = 196 b^{2} - 224 b^{2} - 32 = - 28 b^{2} - 32$ . Оскільки $D_{a} < 0$ при будь-яких $a, b$ , а коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $8 > 0$ ), то тричлен завжди додатний.
д) Розкриємо дужки в лівій частині: $(a + b + 1)^{2} = a^{2} + b^{2} + 1 + 2 ab + 2 a + 2 b$ . Перенесемо все вправо: $3 (a^{2} + b^{2} + 1) - (a^{2} + b^{2} + 1 + 2 ab + 2 a + 2 b) = 2 a^{2} + 2 b^{2} - 2 ab - 2 a - 2 b + 2$ . Поділимо на 2: $a^{2} + b^{2} - ab - a - b + 1$ . Перетворимо на суму квадратів: $\frac{1}{2} (a - b)^{2} + \frac{1}{2} (a - 1)^{2} + \frac{1}{2} (b - 1)^{2} \geq 0$ . Отже, нерівність виконується.

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено; г) Доведено; д) Доведено.

Розбір зрозумілий?