Завдання 340, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 340

Доведення нерівностей з дробом

Довести, що для кожного додатного $b$ : а) $b + \frac{4}{b} \geq 4$ ; б) $25 b + \frac{1}{b} \geq 10$ ; в) $(b + 2) (\frac{2}{b} + 1) \geq 8$ .

Розв’язання

а) Перетворимо вираз: $b + \frac{4}{b} - 4 = \frac{b ^{2} - 4 b + 4}{b} = \frac{( b - 2 ) ^{2}}{b}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а $b > 0$ , то $\frac{( b - 2 ) ^{2}}{b} \geq 0$ , отже $b + \frac{4}{b} \geq 4$ .
б) Перетворимо вираз: $25 b + \frac{1}{b} - 10 = \frac{25 b ^{2} - 10 b + 1}{b} = \frac{( 5 b - 1 ) ^{2}}{b}$ . Оскільки $(5 b - 1)^{2} \geq 0$ і $b > 0$ , то $\frac{( 5 b - 1 ) ^{2}}{b} \geq 0$ , отже $25 b + \frac{1}{b} \geq 10$ .
в) Розкриємо дужки: $(b + 2) (\frac{2}{b} + 1) = 2 + b + \frac{4}{b} + 2 = b + \frac{4}{b} + 4$ . З попереднього пункту а) знаємо, що $b + \frac{4}{b} \geq 4$ , тому $b + \frac{4}{b} + 4 \geq 4 + 4 = 8$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 340 с. 65

Доведення нерівностей з дробом

Умова

Довести, що для кожного додатного $b$ : а) $b + \frac{4}{b} \geq 4$ ; б) $25 b + \frac{1}{b} \geq 10$ ; в) $(b + 2) (\frac{2}{b} + 1) \geq 8$ .

Що треба знати

Використовуємо властивість нерівності між середнім арифметичним та середнім геометричним двох додатних чисел $x$ і $y$ : $\frac{x + y}{2} \geq x y$ , або перетворюємо вираз до вигляду суми квадратів: $(x - y)^{2} \geq 0$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Помнож кожну нерівність на $b$ (відома як додатне число), щоб позбутися знаменника, або спробуй перетворити ліву частину на суму квадратів.

Розв’язання крок за кроком

а) Перетворимо вираз: $b + \frac{4}{b} - 4 = \frac{b ^{2} - 4 b + 4}{b} = \frac{( b - 2 ) ^{2}}{b}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а $b > 0$ , то $\frac{( b - 2 ) ^{2}}{b} \geq 0$ , отже $b + \frac{4}{b} \geq 4$ .
б) Перетворимо вираз: $25 b + \frac{1}{b} - 10 = \frac{25 b ^{2} - 10 b + 1}{b} = \frac{( 5 b - 1 ) ^{2}}{b}$ . Оскільки $(5 b - 1)^{2} \geq 0$ і $b > 0$ , то $\frac{( 5 b - 1 ) ^{2}}{b} \geq 0$ , отже $25 b + \frac{1}{b} \geq 10$ .
в) Розкриємо дужки: $(b + 2) (\frac{2}{b} + 1) = 2 + b + \frac{4}{b} + 2 = b + \frac{4}{b} + 4$ . З попереднього пункту а) знаємо, що $b + \frac{4}{b} \geq 4$ , тому $b + \frac{4}{b} + 4 \geq 4 + 4 = 8$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Розбір зрозумілий?