Prove that for every positive c: а) c+c1≥2; б) 9c+c1≥6; в) (c+1)(c1+1)≥4.
Розв’язання
Пункт а): Оскільки c>0, то за нерівністю про середнє арифметичне і геометричне маємо 2c+c1≥c⋅c1=1=1. Помноживши на 2, отримуємо c+c1≥2. Рівність досягається при c=1.
Пункт б): Розкриємо дужки у виразі 9c+c1−6 або зведемо до спільного знаменника: c9c2−6c+1=c(3c−1)2. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а c>0, то дріб завжди ≥0. Отже, 9c+c1≥6. Рівність при c=31.
Пункт в): Розкриємо дужки: (c+1)(c1+1)=c⋅c1+c+c1+1=1+c+c1+1=c+c1+2. З пункту а) знаємо, що c+c1≥2. Тоді c+c1+2≥2+2=4. Отже, (c+1)(c1+1)≥4. Рівність при c=1.
Prove that for every positive c: а) c+c1≥2; б) 9c+c1≥6; в) (c+1)(c1+1)≥4.
Що треба знати
Використовуємо нерівність про середнє арифметичне і середнє геометричне для додатних чисел x,y: 2x+y≥xy, звідки x+y≥2xy. Також розкриваємо дужки та аналізуємо знак дискримінанта.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для пункту а) застосуйте нерівність про середнє арифметичне і геометричне до чисел c і c1. Для інших пунктів розкрийте дужки та переведіть до вигляду квадрата.
Розв’язання крок за кроком
Пункт а): Оскільки c>0, то за нерівністю про середнє арифметичне і геометричне маємо 2c+c1≥c⋅c1=1=1. Помноживши на 2, отримуємо c+c1≥2. Рівність досягається при c=1.
Пункт б): Розкриємо дужки у виразі 9c+c1−6 або зведемо до спільного знаменника: c9c2−6c+1=c(3c−1)2. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а c>0, то дріб завжди ≥0. Отже, 9c+c1≥6. Рівність при c=31.
Пункт в): Розкриємо дужки: (c+1)(c1+1)=c⋅c1+c+c1+1=1+c+c1+1=c+c1+2. З пункту а) знаємо, що c+c1≥2. Тоді c+c1+2≥2+2=4. Отже, (c+1)(c1+1)≥4. Рівність при c=1.
