Завдання 338, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 338

Нерівності при додатному x

Довести, що для кожного додатного $x$ : а) $(x + 3) (x + 7) > 0$ ; б) $- x (x + 2) (x + 4) < 0$ ; в) $- 2 - x^{2} < 5 x$ .

Розв’язання

Пункт а): $(x + 3) (x + 7) = x^{2} + 10 x + 21$ . Корені рівняння $x^{2} + 10 x + 21 = 0$ дорівнюють $- 3$ і $- 7$ . Парабола лежить вище осі при $x < - 7$ або $x > - 3$ . Оскільки за умовою $x > 0$ , то умова виконується.
Пункт б): Вираз $- x (x + 2) (x + 4)$ . При $x > 0$ : множник $- x$ від'ємний, $(x + 2)$ додатний, $(x + 4)$ додатний. Добуток трьох множників, де один від'ємний і два додатні, завжди від'ємний. Отже, $- x (x + 2) (x + 4) < 0$ .
Пункт в): Перепишемо як $x^{2} + 5 x + 2 > 0$ . Дискримінант $D = 25 - 8 = 17$ . Корені: $\frac{- 5 \pm 17}{2}$ . Парабола лежить вище осі поза коренями. Оскільки $x > 0$ , а менший корінь від'ємний, більший додатний ( $\approx - 0.56$ ), то для всіх $x > 0$ (окрім невеликого відрізка біля нуля? Ні, корені: $\frac{- 5 + 4 , 12}{2} \approx - 0, 44$ і $\frac{- 5 - 4 , 12}{2} \approx - 4, 56$ . Обидва корені від'ємні!). Отже, при $x > 0$ тричлен завжди додатний.

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 338 с. 64

Умова

Довести, що для кожного додатного $x$ : а) $(x + 3) (x + 7) > 0$ ; б) $- x (x + 2) (x + 4) < 0$ ; в) $- 2 - x^{2} < 5 x$ .

Що треба знати

Аналізуємо знаки множників або перетворюємо нерівність до вигляду квадратного тричлена, який завжди додатний (від'ємний дискримінант).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Оскільки $x > 0$ , перевірте знак кожного множника окремо або розкрийте дужки та проаналізуйте дискримінант.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): $(x + 3) (x + 7) = x^{2} + 10 x + 21$ . Корені рівняння $x^{2} + 10 x + 21 = 0$ дорівнюють $- 3$ і $- 7$ . Парабола лежить вище осі при $x < - 7$ або $x > - 3$ . Оскільки за умовою $x > 0$ , то умова виконується.
Пункт б): Вираз $- x (x + 2) (x + 4)$ . При $x > 0$ : множник $- x$ від'ємний, $(x + 2)$ додатний, $(x + 4)$ додатний. Добуток трьох множників, де один від'ємний і два додатні, завжди від'ємний. Отже, $- x (x + 2) (x + 4) < 0$ .
Пункт в): Перепишемо як $x^{2} + 5 x + 2 > 0$ . Дискримінант $D = 25 - 8 = 17$ . Корені: $\frac{- 5 \pm 17}{2}$ . Парабола лежить вище осі поза коренями. Оскільки $x > 0$ , а менший корінь від'ємний, більший додатний ( $\approx - 0.56$ ), то для всіх $x > 0$ (окрім невеликого відрізка біля нуля? Ні, корені: $\frac{- 5 + 4 , 12}{2} \approx - 0, 44$ і $\frac{- 5 - 4 , 12}{2} \approx - 4, 56$ . Обидва корені від'ємні!). Отже, при $x > 0$ тричлен завжди додатний.

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Розбір зрозумілий?