Довести, що для кожного від'ємного значення x: а) (x−1)(x−2)>0; б) x2+9>10x; в) (x−3)(3−x)<0; г) (2−x)(x−3)<0.
Розв’язання
Розглянемо пункт а): (x−1)(x−2)=x2−3x+2. Оскільки корені рівняння x2−3x+2=0 дорівнюють 1 і 2, то парабола відкривається вгору і знаходиться вище осі Ox при x<1. Отже, для всіх x<0 виконується (x−1)(x−2)>0.
Розглянемо пункт б): Перепишемо як x2−10x+9>0. Корені рівняння x2−10x+9=0 дорівнюють 1 і 9. Парабола лежить вище осі при x<1 або x>9. Оскільки x<0, то умова виконується.
Розглянемо пункт в): (x−3)(3−x)=−(x−3)2. Квадрат будь-якого числа невід'ємний, тому −(x−3)2≤0. Рівність нулю можлива лише при x=3, але за умовою x<0, отже, вираз завжди від'ємний: (x−3)(3−x)<0.
Розглянемо пункт г): (2−x)(x−3)=−x2+5x−6. Корені рівняння −x2+5x−6=0 дорівнюють 2 і 3. Парабола відкривається вниз і знаходиться нижче осі між коренями (2<x<3). Поза цією областю вона вище осі. Але за умовою x<0, що є частиною області, де парабола лежить вище осі? Ні, перевіримо знаки множників: при x<0, (2−x)>0 (додатний), а (x−3)<0 (від'ємний). Добуток додатного на від'ємне є від'ємним. Отже, (2−x)(x−3)<0.
Довести, що для кожного від'ємного значення x: а) (x−1)(x−2)>0; б) x2+9>10x; в) (x−3)(3−x)<0; г) (2−x)(x−3)<0.
Що треба знати
Якщо множники нерівності мають різні знаки, то їх добуток від'ємний. Якщо обидва множники додатні або від'ємні одночасно, тобуток додатний. Для квадратних тричленів перевіряємо знак дискримінанта та розташування коренів.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розкрийте дужки в кожному випадку або переведіть нерівність до вигляду f(x)>0 (або <0), а потім проаналізуйте знак виразу при умові x<0.
Розв’язання крок за кроком
Розглянемо пункт а): (x−1)(x−2)=x2−3x+2. Оскільки корені рівняння x2−3x+2=0 дорівнюють 1 і 2, то парабола відкривається вгору і знаходиться вище осі Ox при x<1. Отже, для всіх x<0 виконується (x−1)(x−2)>0.
Розглянемо пункт б): Перепишемо як x2−10x+9>0. Корені рівняння x2−10x+9=0 дорівнюють 1 і 9. Парабола лежить вище осі при x<1 або x>9. Оскільки x<0, то умова виконується.
Розглянемо пункт в): (x−3)(3−x)=−(x−3)2. Квадрат будь-якого числа невід'ємний, тому −(x−3)2≤0. Рівність нулю можлива лише при x=3, але за умовою x<0, отже, вираз завжди від'ємний: (x−3)(3−x)<0.
Розглянемо пункт г): (2−x)(x−3)=−x2+5x−6. Корені рівняння −x2+5x−6=0 дорівнюють 2 і 3. Парабола відкривається вниз і знаходиться нижче осі між коренями (2<x<3). Поза цією областю вона вище осі. Але за умовою x<0, що є частиною області, де парабола лежить вище осі? Ні, перевіримо знаки множників: при x<0, (2−x)>0 (додатний), а (x−3)<0 (від'ємний). Добуток додатного на від'ємне є від'ємним. Отже, (2−x)(x−3)<0.
