Довести, що виконуються такі нерівності для будь-яких дійсних значень a: а) a2−2a+5>0; б) a2+5>4a; в) 2a2+6a+9>0; г) 2a2+1>2a.
Розв’язання
Пункт а): Переносимо нічого (вже в лівій частині). Записуємо як повний квадрат: (a−1)2+4. Оскільки (a−1)2⩾0, то сума з 4 завжди більша за 0.
Пункт б): Переносимо 4a: a2−4a+5>0. Записуємо як повний квадрат: (a−2)2+1>0. Сума квадрата та одиниці завжди додатна.
Пункт в): Розглядаємо вираз 2a2+6a+9. Дискримінант D=62−4⋅2⋅9=36−72=−36<0. Оскільки D<0 і коефіцієнт при a2 додатний, вираз завжди додатний. Також можна поділити на 2: (a+1,5)2+4,5>0.
Пункт г): Переносимо 2a: 2a2−2a+1>0. Дискримінант D=(−2)2−4⋅2⋅1=4−8=−4<0. Коефіцієнт при a2 додатний, отже вираз завжди додатний.
Відповідь:
Нерівності а)–г) виконуються для будь-яких дійсних значень a.
Довести, що виконуються такі нерівності для будь-яких дійсних значень a: а) a2−2a+5>0; б) a2+5>4a; в) 2a2+6a+9>0; г) 2a2+1>2a.
Що треба знати
Перенесемо всі доданки в ліву частину. Якщо вираз можна подати як повний квадрат плюс додатне число, або якщо дискримінант квадратного тричлена від'ємний при додатному коефіцієенті при x2, то нерівність виконується завжди.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Почніть з пункту а). Спробуйте подати вираз як (a−1)2+4. Для пункту в) зверніть увагу, що коефіцієнт при a2 дорівнює 2, тому розділіть на 2 або просто перевірте дискримінант.
Розв’язання крок за кроком
Пункт а): Переносимо нічого (вже в лівій частині). Записуємо як повний квадрат: (a−1)2+4. Оскільки (a−1)2⩾0, то сума з 4 завжди більша за 0.
Пункт б): Переносимо 4a: a2−4a+5>0. Записуємо як повний квадрат: (a−2)2+1>0. Сума квадрата та одиниці завжди додатна.
Пункт в): Розглядаємо вираз 2a2+6a+9. Дискримінант D=62−4⋅2⋅9=36−72=−36<0. Оскільки D<0 і коефіцієнт при a2 додатний, вираз завжди додатний. Також можна поділити на 2: (a+1,5)2+4,5>0.
Пункт г): Переносимо 2a: 2a2−2a+1>0. Дискримінант D=(−2)2−4⋅2⋅1=4−8=−4<0. Коефіцієнт при a2 додатний, отже вираз завжди додатний.
Відповідь:
Нерівності а)–г) виконуються для будь-яких дійсних значень a.
