Завдання 335, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 335

Доведення нерівностей з додатними виразами

Довести, що виконуються такі нерівності для будь-яких дійсних значень $a$ :
а) $a^{2} + 2 a + 2 > 0$ ;
б) $a^{2} + 3 > 2 a$ ;
в) $2 a^{2} - 10 a + 25 > 0$ ;
г) $3 a^{2} + 1 > 2 a$ ;
ґ) $a^{2} + 65 > 16 a$ ;
д) $a^{4} + 82 > 18 a^{2}$ .

Розв’язання

Пункт а): Групуємо доданки: $(a^{2} + 2 a + 1) + 1 = (a + 1)^{2} + 1$ . Оскільки $(a + 1)^{2} ⩾ 0$ , то сума з $1$ завжди більша за $0$ . Нерівність доведено.
Пункт б): Переносимо $2 a$ : $a^{2} - 2 a + 3 > 0$ . Додаємо і віднімаємо $1$ : $(a - 1)^{2} + 2 > 0$ . Оскільки квадрат невід'ємний, то сума з $2$ завжди додатна.
Пункт в): Розглядаємо вираз як повний квадрат: $2 (a^{2} - 5 a + 12, 5)$ . Краще розкрити дужки в початковому вигляді або поділити на $2$ : $a^{2} - 5 a + 12, 5 > 0$ . Дискримінант $D = 25 - 4 \cdot 12, 5 < 0$ , значить коренів немає і парабола зворотно спрямована. Або: $(a - 2, 5)^{2} + 6, 25 > 0$ .
Пункт г): Переносимо $2 a$ : $3 a^{2} - 2 a + 1 > 0$ . Дискримінант $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = - 8 < 0$ . Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ додатний і коренів немає, вираз завжди додатний.
Пункт ґ): Переносимо $16 a$ : $a^{2} - 16 a + 65 > 0$ . Дискримінант $D = 256 - 260 = - 4 < 0$ . Коефіцієнт при $a^{2}$ додатний, отже вираз завжди додатний.
Пункт д): Переносимо $18 a^{2}$ : $a^{4} - 18 a^{2} + 82 > 0$ . Це квадрат двочлена: $(a^{2} - 9)^{2} + 82 - 81 = (a^{2} - 9)^{2} + 1 > 0$ . Сума квадрата та одиниці завжди додатна.

Відповідь:

Нерівності а)–д) виконуються для будь-яких дійсних значень $a$ (знак строго більший за $0$ , оскільки рівність неможлива через додатні константи).

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 335 с. 64

Доведення нерівностей з додатними виразами

Умова

Що треба знати

Спробуємо перенести всі доданки в ліву частину. Якщо отриманий вираз можна подати як суму повних квадратів з додатною константою (наприклад, $x^{2} + 1 > 0$ ), то нерівність завжди виконується.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пунктів а)–г) спробуйте записати вираз у вигляді $(a + k)^{2} + число$ . У пункті д) розгляньте різницю $a^{4} - 18 a^{2} + 82$ як квадрат двочлена.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Групуємо доданки: $(a^{2} + 2 a + 1) + 1 = (a + 1)^{2} + 1$ . Оскільки $(a + 1)^{2} ⩾ 0$ , то сума з $1$ завжди більша за $0$ . Нерівність доведено.
Пункт б): Переносимо $2 a$ : $a^{2} - 2 a + 3 > 0$ . Додаємо і віднімаємо $1$ : $(a - 1)^{2} + 2 > 0$ . Оскільки квадрат невід'ємний, то сума з $2$ завжди додатна.
Пункт в): Розглядаємо вираз як повний квадрат: $2 (a^{2} - 5 a + 12, 5)$ . Краще розкрити дужки в початковому вигляді або поділити на $2$ : $a^{2} - 5 a + 12, 5 > 0$ . Дискримінант $D = 25 - 4 \cdot 12, 5 < 0$ , значить коренів немає і парабола зворотно спрямована. Або: $(a - 2, 5)^{2} + 6, 25 > 0$ .
Пункт г): Переносимо $2 a$ : $3 a^{2} - 2 a + 1 > 0$ . Дискримінант $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = - 8 < 0$ . Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ додатний і коренів немає, вираз завжди додатний.
Пункт ґ): Переносимо $16 a$ : $a^{2} - 16 a + 65 > 0$ . Дискримінант $D = 256 - 260 = - 4 < 0$ . Коефіцієнт при $a^{2}$ додатний, отже вираз завжди додатний.
Пункт д): Переносимо $18 a^{2}$ : $a^{4} - 18 a^{2} + 82 > 0$ . Це квадрат двочлена: $(a^{2} - 9)^{2} + 82 - 81 = (a^{2} - 9)^{2} + 1 > 0$ . Сума квадрата та одиниці завжди додатна.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?