Довести, що виконуються такі нерівності для будь-яких дійсних значень a: а) 4a2−12a+9⩾0; б) a(a+4)⩾6a−1; в) (a+3)2⩾12a; г) (a−2)2+(a+2)2⩾8; ґ) 12(3−a)⩽(a−6)2; д) 21+a2⩾a.
Розв’язання
Пункт а): Розкриваємо дужки в лівій частині: 4a2−12a+9. Зауважуємо, що це повний квадрат (2a−3)2. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то (2a−3)2⩾0. Нерівність доведено.
Пункт б): Переносимо 6a−1 у ліву частину: a2+4a−6a+1⩾0, що дає a2−2a+1⩾0. Це повний квадрат (a−1)2⩾0, що завжди вірно.
Пункт в): Розкриваємо дужки: a2+6a+9⩾12a. Переносимо 12a у ліву частину: a2−6a+9⩾0. Це повний квадрат (a−3)2⩾0, що вірно.
Пункт г): Розкриваємо дужки у лівій частині: a2−4a+4+a2+4a+4=2a2+8. Переносимо 8 у ліву частину: 2a2⩾0. Оскільки a2⩾0, то 2a2⩾0 також вірно.
Пункт ґ): Розкриваємо дужки в правій частині: (a−6)2=a2−12a+36. Переносимо 12(3−a) у праву частину (або розкрито вираз переносимо): a2−12a+36−36+12a⩾0, що спрощується до a2⩾0. Це завжди вірно.
Пункт д): Розкриваємо дріб: 21+2a2⩾a. Переносимо всі доданки в ліву частину: a2−2a+1⩾0. Це повний квадрат (a−1)2⩾0, що вірно.
Відповідь:
Нерівності а)–д) виконуються для будь-яких дійсних значень a. Рівність у кожному випадку досягається при конкретному значенні змінної (наприклад, у пункті а) — коли 2a−3=0, тобто a=1,5).
Довести, що виконуються такі нерівності для будь-яких дійсних значень a: а) 4a2−12a+9⩾0; б) a(a+4)⩾6a−1; в) (a+3)2⩾12a; г) (a−2)2+(a+2)2⩾8; ґ) 12(3−a)⩽(a−6)2; д) 21+a2⩾a.
Що треба знати
Щоб довести нерівність, перенесемо всі доданки в ліву частину і спростимо вираз. Якщо отриманий вираз можна записати як повний квадрат (наприклад, x2⩾0) або суму повних квадратів, то нерівність є правильною для будь-яких дійсних чисел.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Почніть з пункту а). Перемножте дужки в лівій частині та порівняйте коефіцієнти при a2 та a з правою частиною. Для пунктів, де є дріб або подвійний вираз, розкрийте дужки і зведіть подібні доданки.
Розв’язання крок за кроком
Пункт а): Розкриваємо дужки в лівій частині: 4a2−12a+9. Зауважуємо, що це повний квадрат (2a−3)2. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то (2a−3)2⩾0. Нерівність доведено.
Пункт б): Переносимо 6a−1 у ліву частину: a2+4a−6a+1⩾0, що дає a2−2a+1⩾0. Це повний квадрат (a−1)2⩾0, що завжди вірно.
Пункт в): Розкриваємо дужки: a2+6a+9⩾12a. Переносимо 12a у ліву частину: a2−6a+9⩾0. Це повний квадрат (a−3)2⩾0, що вірно.
Пункт г): Розкриваємо дужки у лівій частині: a2−4a+4+a2+4a+4=2a2+8. Переносимо 8 у ліву частину: 2a2⩾0. Оскільки a2⩾0, то 2a2⩾0 також вірно.
Пункт ґ): Розкриваємо дужки в правій частині: (a−6)2=a2−12a+36. Переносимо 12(3−a) у праву частину (або розкрито вираз переносимо): a2−12a+36−36+12a⩾0, що спрощується до a2⩾0. Це завжди вірно.
Пункт д): Розкриваємо дріб: 21+2a2⩾a. Переносимо всі доданки в ліву частину: a2−2a+1⩾0. Це повний квадрат (a−1)2⩾0, що вірно.
Відповідь:
Нерівності а)–д) виконуються для будь-яких дійсних значень a. Рівність у кожному випадку досягається при конкретному значенні змінної (наприклад, у пункті а) — коли 2a−3=0, тобто a=1,5).
