Завдання 333, § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 333

Доведення нерівностей з знаком

\geq

або

\leq

Довести шість нерівностей (пункти а, б, в, г, ґ, д).
а) $9 a^{2} - 12 a + 4 \geq 0$ ;
б) $a (a + 6) + 1 \geq 4 a$ ;
в) $(a + 1)^{2} \geq 4 a$ ;
г) $(a + 3)^{2} + (a - 3)^{2} \geq 18$ ;
ґ) $20 (5 + a) \leq (a + 10)^{2}$ ;
д) $\frac{a ^{2} + 4}{4} \geq a$ .

Розв’язання

Пункт а): Записуємо як повний квадрат: $(3 a - 2)^{2} \geq 0$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, нерівність вірна.
Пункт б): Розкриваємо дужки: $a^{2} + 6 a + 1 \geq 4 a$ . Переносимо $4 a$ : $a^{2} + 2 a + 1 \geq 0$ . Це $(a + 1)^{2} \geq 0$ , що вірно.
Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^{2} + 2 a + 1 \geq 4 a$ . Переносимо $4 a$ : $a^{2} - 2 a + 1 \geq 0$ . Це $(a - 1)^{2} \geq 0$ , що вірно.
Пункт г): Розкриваємо дужки: $(a^{2} + 6 a + 9) + (a^{2} - 6 a + 9) \geq 18 \Rightarrow 2 a^{2} + 18 \geq 18$ . Віднімаємо $18$ : $2 a^{2} \geq 0$ . Оскільки $a^{2} \geq 0$ , то $2 a^{2} \geq 0$ вірно.
Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $100 + 20 a \leq a^{2} + 20 a + 100$ . Віднімаємо $100$ і $20 a$ : $0 \leq a^{2}$ . Це вірно.
Пункт д): Множимо на 4: $a^{2} + 4 \geq 4 a$ . Переносимо $4 a$ : $a^{2} - 4 a + 4 \geq 0$ . Це $(a - 2)^{2} \geq 0$ , що вірно.

Відповідь:

Нерівності виконуються для будь-яких дійсних значень $a$ : а) так; б) так; в) так; г) так; ґ) так; д) так.

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 333 с. 64

Доведення нерівностей з знаком $\geq$ або $\leq$

Умова

Що треба знати

Щоб довести нерівність, розкриваємо дужки, збираємо подібні доданки і переносимо все в ліву частину. Якщо отримана сума квадратів або число більше за нуль, нерівність вірна. Для дробової нерівності (пункт д) знаходимо спільний знаменник.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з пункту а): розглянь вираз $9 a^{2} - 12 a + 4$ як повний квадрат тріному $(3 a - 2)^{2}$ .

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Записуємо як повний квадрат: $(3 a - 2)^{2} \geq 0$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, нерівність вірна.
Пункт б): Розкриваємо дужки: $a^{2} + 6 a + 1 \geq 4 a$ . Переносимо $4 a$ : $a^{2} + 2 a + 1 \geq 0$ . Це $(a + 1)^{2} \geq 0$ , що вірно.
Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^{2} + 2 a + 1 \geq 4 a$ . Переносимо $4 a$ : $a^{2} - 2 a + 1 \geq 0$ . Це $(a - 1)^{2} \geq 0$ , що вірно.
Пункт г): Розкриваємо дужки: $(a^{2} + 6 a + 9) + (a^{2} - 6 a + 9) \geq 18 \Rightarrow 2 a^{2} + 18 \geq 18$ . Віднімаємо $18$ : $2 a^{2} \geq 0$ . Оскільки $a^{2} \geq 0$ , то $2 a^{2} \geq 0$ вірно.
Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $100 + 20 a \leq a^{2} + 20 a + 100$ . Віднімаємо $100$ і $20 a$ : $0 \leq a^{2}$ . Це вірно.
Пункт д): Множимо на 4: $a^{2} + 4 \geq 4 a$ . Переносимо $4 a$ : $a^{2} - 4 a + 4 \geq 0$ . Це $(a - 2)^{2} \geq 0$ , що вірно.

Відповідь:

Нерівності виконуються для будь-яких дійсних значень $a$ : а) так; б) так; в) так; г) так; ґ) так; д) так.

Розбір зрозумілий?

Доведення нерівностей з знаком ≥ або ≤

Доведення нерівностей з знаком $\geq$ або $\leq$