Довести чотири нерівності (пункти а, б, в, г) та дві додаткові (г, д). а) (2a−1)(2a+1)<4a2; б) 3(a−1)−2(a−2)<a+5; в) (a−2)(a+4)<(a+1)2; г) (a−5)(a+2)<(a−4)(a+1); ґ) (a−3)2>a(a−6); д) (a+1)2−5a>a2−3a.
Що треба знати
Для доведення нерівностей розкриваємо дужки, збираємо подібні доданки та порівнюємо отриманий вираз із правим боком. Якщо після перенесення всіх членів у ліву частину залишається сума квадратів або додатне число, нерівність виконується для будь-яких значень змінної.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Почни з пункту а): розкрий дужки в добутку (2a−1)(2a+1) за формулою різниці квадратів і порівняй отриманий вираз із 4a2.
Розв’язання крок за кроком
Пункт а): Розкриваємо дужки: 4a2−1<4a2. Віднімаємо 4a2 від обох частин: −1<0. Це вірно, отже нерівність справджується.
Пункт б): Розкриваємо дужки: 3a−3−2a+4<a+5⇒a+1<a+5. Віднімаємо a від обох частин: 1<5. Це вірно.
Пункт в): Розкриваємо дужки: a2+2a−8<a2+2a+1. Скорочуємо a2 і 2a: −8<1. Це вірно.
Пункт г): Розкриваємо дужки: a2−3a−10<a2−3a−4. Скорочуємо a2 і −3a: −10<−4. Це вірно.
Пункт ґ: Розкриваємо дужки: a2−6a+9>a2−6a. Скорочуємо a2 і −6a: 9>0. Це вірно.
Пункт д): Розкриваємо дужки: a2+2a+1−5a>a2−3a⇒a2−3a+1>a2−3a. Скорочуємо a2 і −3a: 1>0. Це вірно.
Відповідь:
Нерівності виконуються для будь-яких дійсних значень a: а) так; б) так; в) так; г) так; ґ) так; д) так.
