Завдання 2 (с. 63), § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 2 (с. 63)

Нерівність з двома змінними

Довести, що при $a \geq 0$ і $b \geq 0$ виконується нерівність $(a + 2) (b + 8) \geq 16 ab$ .

Розв’язання

Запишемо нерівність для пари чисел $a$ і $2$ : $\frac{a + 2}{2} \geq a \cdot 2 = 2 a$ .
Запишемо нерівність для пари чисел $b$ і $8$ : $\frac{b + 8}{2} \geq b \cdot 8 = 8 b$ .
Перемножимо ці дві нерівності (оскільки обидві частини додатні): $(a + 2) (b + 8) \geq 2 2 a \cdot 2 8 b = 4 16 ab$ .
Спростимо вираз у правій частині: $4 16 ab = 4 \cdot 4 ab = 16 ab$ .

Відповідь:

$(a + 2) (b + 8) \geq 16 ab$

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 2 (с. 63) с. 63

Нерівність з двома змінними

Умова

Довести, що при $a \geq 0$ і $b \geq 0$ виконується нерівність $(a + 2) (b + 8) \geq 16 ab$ .

Що треба знати

Використовуємо властивість середнього арифметичного та середнього геометричного: для будь-яких $x \geq 0, y \geq 0$ виконується $\frac{x + y}{2} \geq x y$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Застосуй нерівність про середнє арифметичне і середнє геометричне до виразів $a + 2$ та $b + 8$ , а потім перемнож отримані результати.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо нерівність для пари чисел $a$ і $2$ : $\frac{a + 2}{2} \geq a \cdot 2 = 2 a$ .
Запишемо нерівність для пари чисел $b$ і $8$ : $\frac{b + 8}{2} \geq b \cdot 8 = 8 b$ .
Перемножимо ці дві нерівності (оскільки обидві частини додатні): $(a + 2) (b + 8) \geq 2 2 a \cdot 2 8 b = 4 16 ab$ .
Спростимо вираз у правій частині: $4 16 ab = 4 \cdot 4 ab = 16 ab$ .

Відповідь:

$(a + 2) (b + 8) \geq 16 ab$

Розбір зрозумілий?