Порівняння середнього арифметичного та геометричного
Порівняти середнє арифметичне і середнє геометричне двох додатних чисел.
Розв’язання
Записуємо нерівність, що випливає з властивостей кореня та квадрата: ab≤2a+b.
Висновуємо, що середнє геометричне менше або дорівнює середньому арифметичному.
Відповідь:
Середнє геометричне двох додатних чисел завжди менше або дорівнює їхньому середньому арифметичному (ab≤2a+b). Рівність має місце тільки тоді, коли числа рівні.
Порівняння середнього арифметичного та геометричного
Умова
Порівняти середнє арифметичне і середнє геометричне двох додатних чисел.
Що треба знати
Для будь-яких додатних чисел a і b виконується нерівність ab≤2a+b. Рівність досягається лише тоді, коли a=b.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Використовуй малюнок 7.1 та текст у розділі «ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?», де показано геометричну інтерпретацію нерівності.
Розв’язання крок за кроком
Записуємо нерівність, що випливає з властивостей кореня та квадрата: ab≤2a+b.
Висновуємо, що середнє геометричне менше або дорівнює середньому арифметичному.
Відповідь:
Середнє геометричне двох додатних чисел завжди менше або дорівнює їхньому середньому арифметичному (ab≤2a+b). Рівність має місце тільки тоді, коли числа рівні.
