Завдання 325, § 6. Системи нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 325

Доведення подільності виразу на 18

Довести, що значення виразу $1 7^{10} + 3 \cdot 7^{10} - 3 \cdot 7^{9} + 1 7^{9}$ ділиться націло на 18.

Розв’язання

Запишемо вираз у зручному вигляді: $A = 1 7^{10} + 1 7^{9} + 3 (7^{10} - 7^{9})$ .
Перевіримо подільність на 2: $17$ — непарне число, отже $1 7^{10}$ і $1 7^{9}$ — непарні. Сума двох непарних чисел ( $1 7^{10} + 1 7^{9}$ ) є парною. Число $3 \cdot 7^{10}$ — непарне, $3 \cdot 7^{9}$ — непарне, їх різниця парна. Отже, вся сума $A$ — парна, тобто ділиться на 2.
Перевіримо подільність на 9: $17 = 18 - 1 \equiv - 1 (mod 9)$ , отже $1 7^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 9)$ . Тоді $1 7^{10} + 1 7^{9} \equiv (- 1)^{10} + (- 1)^{9} = 1 - 1 = 0 (mod 9)$ .
Для другої частини: $7 = 8 + 9 \equiv 8 \equiv - 1 (mod 9)$ , отже $7^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 9)$ . Тоді $7^{10} - 7^{9} \equiv (- 1)^{10} - (- 1)^{9} = 1 - (- 1) = 2 (mod 9)$ . Помножимо на 3: $3 \cdot 2 = 6 \neq \equiv 0 (mod 9)$ . Тут помилка в логіці, перевіримо ще раз.
Правильний підхід: $1 7^{10} + 1 7^{9} = 1 7^{9} (17 + 1) = 1 7^{9} \cdot 18$ , що ділиться на 18. Друга частина: $3 \cdot 7^{9} (7 - 1) = 3 \cdot 7^{9} \cdot 6 = 18 \cdot 7^{9}$ .

Відповідь:

Вираз ділиться націло на 18, оскільки він можна подати як $18 (1 7^{9} + 7^{9})$ .

Розбір зрозумілий?

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною Завдання 325 с. 60

Доведення подільності виразу на 18

Умова

Довести, що значення виразу $1 7^{10} + 3 \cdot 7^{10} - 3 \cdot 7^{9} + 1 7^{9}$ ділиться націло на 18.

Що треба знати

Щоб довести подільність числа на 18, потрібно показати, що воно ділиться одночасно на 2 і на 9 (оскільки $НСД (2, 9) = 1$ ). Використовуємо властивості степенів та парності чисел.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь вираз як суму двох частин. Перевір подільність кожної частини окремо на 2 і на 9, використовуючи властивості степенів з непарними основами.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо вираз у зручному вигляді: $A = 1 7^{10} + 1 7^{9} + 3 (7^{10} - 7^{9})$ .
Перевіримо подільність на 2: $17$ — непарне число, отже $1 7^{10}$ і $1 7^{9}$ — непарні. Сума двох непарних чисел ( $1 7^{10} + 1 7^{9}$ ) є парною. Число $3 \cdot 7^{10}$ — непарне, $3 \cdot 7^{9}$ — непарне, їх різниця парна. Отже, вся сума $A$ — парна, тобто ділиться на 2.
Перевіримо подільність на 9: $17 = 18 - 1 \equiv - 1 (mod 9)$ , отже $1 7^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 9)$ . Тоді $1 7^{10} + 1 7^{9} \equiv (- 1)^{10} + (- 1)^{9} = 1 - 1 = 0 (mod 9)$ .
Для другої частини: $7 = 8 + 9 \equiv 8 \equiv - 1 (mod 9)$ , отже $7^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 9)$ . Тоді $7^{10} - 7^{9} \equiv (- 1)^{10} - (- 1)^{9} = 1 - (- 1) = 2 (mod 9)$ . Помножимо на 3: $3 \cdot 2 = 6 \neq \equiv 0 (mod 9)$ . Тут помилка в логіці, перевіримо ще раз.
Правильний підхід: $1 7^{10} + 1 7^{9} = 1 7^{9} (17 + 1) = 1 7^{9} \cdot 18$ , що ділиться на 18. Друга частина: $3 \cdot 7^{9} (7 - 1) = 3 \cdot 7^{9} \cdot 6 = 18 \cdot 7^{9}$ .

Відповідь:

Вираз ділиться націло на 18, оскільки він можна подати як $18 (1 7^{9} + 7^{9})$ .

Розбір зрозумілий?