Завдання 323, § 6. Системи нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 323

Знаходження найбільшого цілого розв'язку нерівності

а) $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} \geq 2$ ; б) $\frac{2 x + 3}{2 - x} \geq 5$ .

Розв’язання

а) Перенесемо 2 вліво: $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} - 2 \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 2 ( 2 x + 4 )}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 4 x - 8}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{- x - 9}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = - 2$ . Критичні точки: $x = - 9$ (чисельник), $x = - 2$ (знаменник). Перевіряємо знаки: при $x > - 2$ вираз від'ємний, при $- 9 < x < - 2$ вираз додатний. Розв'язок: $(- 9; - 2)$ . Найбільше ціле число в цьому проміжку не існує (бо проміжок відкритий зправа). Перевіримо ще раз знак: $\frac{- ( x + 9 )}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник $2 (x + 2)$ має той самий знак, що й $- (x + 9)$ . Якщо $x > - 2$ , знаменник додатний, чисельник від'ємний — дріб від'ємний. Якщо $x < - 9$ , обидва множники від'ємні (чисельник), дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; - 9]$ . Найбільше ціле число: $- 9$ .
б) Перенесемо 5 вліво: $\frac{2 x + 3}{2 - x} - 5 \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 5 ( 2 - x )}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 10 + 5 x}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{7 x - 7}{2 - x} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = 2$ . Критичні точки: $x = 1$ (чисельник), $x = 2$ (знаменник). Розглянемо знаки: при $x > 2$ знаменник від'ємний, чисельник додатний — дріб від'ємний. При $1 < x < 2$ знаменник додатний, чисельник додатний — дріб додатний. При $x < 1$ обидва від'ємні — дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; 1] \cup (1; 2)$ . Найбільше ціле число в цьому розв'язку — це $1$ .

Відповідь:

а) $- 9$ ; б) $1$

Розбір зрозумілий?

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною Завдання 323 с. 59

Знаходження найбільшого цілого розв'язку нерівності

Умова

а) $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} \geq 2$ ; б) $\frac{2 x + 3}{2 - x} \geq 5$ .

Що треба знати

Для раціональних нерівностей спочатку переношемо все в один бік, щоб отримати вигляд $\frac{P ( x )}{Q ( x )} \geq 0$ (або $\leq 0$ ). Потім знаходимо корені чисельника та знаменника. Розв'язок — це об'єднання або перетин проміжків між цими коренями, з урахуванням знаку нерівності та умови $Q (x) \neq = 0$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Перенеси праву частину вліво. Знайди нулі чисельника та знаменника. Визнач знаки на вісьі координат. Обери проміжок, що відповідає умові нерівності, і знайди найбільше ціле число в ньому.

Розв’язання крок за кроком

а) Перенесемо 2 вліво: $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} - 2 \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 2 ( 2 x + 4 )}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 4 x - 8}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{- x - 9}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = - 2$ . Критичні точки: $x = - 9$ (чисельник), $x = - 2$ (знаменник). Перевіряємо знаки: при $x > - 2$ вираз від'ємний, при $- 9 < x < - 2$ вираз додатний. Розв'язок: $(- 9; - 2)$ . Найбільше ціле число в цьому проміжку не існує (бо проміжок відкритий зправа). Перевіримо ще раз знак: $\frac{- ( x + 9 )}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник $2 (x + 2)$ має той самий знак, що й $- (x + 9)$ . Якщо $x > - 2$ , знаменник додатний, чисельник від'ємний — дріб від'ємний. Якщо $x < - 9$ , обидва множники від'ємні (чисельник), дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; - 9]$ . Найбільше ціле число: $- 9$ .
б) Перенесемо 5 вліво: $\frac{2 x + 3}{2 - x} - 5 \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 5 ( 2 - x )}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 10 + 5 x}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{7 x - 7}{2 - x} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = 2$ . Критичні точки: $x = 1$ (чисельник), $x = 2$ (знаменник). Розглянемо знаки: при $x > 2$ знаменник від'ємний, чисельник додатний — дріб від'ємний. При $1 < x < 2$ знаменник додатний, чисельник додатний — дріб додатний. При $x < 1$ обидва від'ємні — дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; 1] \cup (1; 2)$ . Найбільше ціле число в цьому розв'язку — це $1$ .

Відповідь:

а) $- 9$ ; б) $1$

Розбір зрозумілий?