ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 59

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 312–323 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною

Завдання 312

Нерівності з квадратом виразу

а) $(x - 8)^{2} < 1$ ;
б) $(x - 2)^{2} \geq 25$ ;
в) $(5 x - 3)^{2} > 49$ .

Розв’язання

а) Нерівність $(x - 8)^{2} < 1$ еквівалентна $- 1 < x - 8 < 1$ . Додамо 8 до всіх частин: $7 < x < 9$ .
б) Нерівність $(x - 2)^{2} \geq 25$ означає, що відстань від $x$ до 2 більша або дорівнює 5. Корені рівняння $(x - 2)^{2} = 25$ : $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 7$ . Оскільки знак $\geq$ , розв'язок — обидва проміжки за межі коренів: $x \leq - 3$ або $x \geq 7$ .
в) Нерівність $(5 x - 3)^{2} > 49$ еквівалентна $∣5 x - 3∣ > 7$ . Це означає дві нерівності: $5 x - 3 > 7$ або $5 x - 3 < - 7$ .
Розв'язуємо першу: $5 x > 10 \Rightarrow x > 2$ .
Розв'язуємо другу: $5 x < - 4 \Rightarrow x < - 0, 8$ .

Відповідь:

а) $(7; 9)$ ;
б) $(- \infty; - 3] \cup [7; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; - 0, 8) \cup (2; + \infty)$ .

Завдання 313

Параметричні системи без розв'язків

а) ${3 x > 2 x + 5 x < a$
б) ${3 (x + 8) \geq 2 (3 + 2 x) x + 2 \geq a$

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу нерівність: $3 x > 2 x + 5 \Rightarrow x > 5$ . Друга: $x < a$ . Система не має розв'язків, якщо верхня межа менша або дорівнює нижній: $a \leq 5$ .
б) Розкриваємо дужки в першій нерівності: $3 x + 24 \geq 6 + 4 x \Rightarrow - x \geq - 18 \Rightarrow x \leq 18$ . Друга нерівність: $x \geq a - 2$ . Система не має розв'язків, якщо $a - 2 > 18$ , тобто $a > 20$ .

Відповідь:

а) $a \leq 5$ ;
б) $a > 20$ .

Завдання 314

Розв'язання параметричних систем нерівностей

а) ${5 x - 4 > x + 8 x < a$
б) ${2 (x - 1) \geq x + 3 x \geq a$

Розв’язання

а) Перша нерівність: $5 x - x > 8 + 4 \Rightarrow 4 x > 12 \Rightarrow x > 3$ . Друга: $x < a$ . Розв'язок існує, якщо $a > 3$ , тоді $x \in (3; a)$ . Якщо $a \leq 3$ , розв'язку немає.
б) Перша нерівність: $2 x - 2 \geq x + 3 \Rightarrow x \geq 5$ . Друга: $x \geq a$ . Розв'язок — це більша з двох меж: $x \geq max (5; a)$ .

Відповідь:

а) Якщо $a > 3$ , то $(3; a)$ ; якщо $a \leq 3$ , розв'язків немає.
б) $x \geq max (5; a)$ (тобто, якщо $a < 5$ , то $x \geq 5$ ; якщо $a \geq 5$ , то $x \geq a$ ).

Завдання 315

Розв'язування системи нерівностей з параметром

а) ${3 - x < 6 - 2 x, x > a;$
б) ${5 x + 13 \leq 2 (1 + 2 x), x - 3 \leq a .$

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність у пункті а): $3 - x < 6 - 2 x \Rightarrow - x + 2 x < 6 - 3 \Rightarrow x < 3$ . Друга нерівність $x > a$ вже виражена через параметр. Отже, розв'язок системи: $a < x < 3$ .
Розв'язуємо першу нерівність у пункті б): $5 x + 13 \leq 2 + 4 x \Rightarrow 5 x - 4 x \leq 2 - 13 \Rightarrow x \leq - 11$ . Друга нерівність $x - 3 \leq a \Rightarrow x \leq a + 3$ . Отже, розв'язок системи: $x \leq min (- 11; a + 3)$ .

Відповідь:

а) $a < x < 3$ ;
б) $x \leq - 11$ , якщо $a + 3 > - 11$ (тобто $a > - 14$ ); $x \leq a + 3$ , якщо $a + 3 \leq - 11$ (тобто $a \leq - 14$ ).

Завдання 316

Знаходження параметра за умовою найменшого цілого розв'язку

За яких значень параметра $a$ найменший цілий розв'язок системи ${5 x - 17 < 2 (x - 4), x \geq a$ дорівнює 1?

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність: $5 x - 17 < 2 x - 8 \Rightarrow 5 x - 2 x < 17 - 8 \Rightarrow 3 x < 9 \Rightarrow x < 3$ .
Друга нерівність системи: $x \geq a$ . Розв'язок системи — це перетин проміжків $(- \infty; 3)$ і $[a; + \infty)$ . Це проміжок $[a; 3)$ .
Найменшим цілим числом у цьому проміжку має бути 1. Це означає, що число 1 має входити в проміжок (тобто $1 \geq a$ ), а число 0 не повинно входити (тобто $0 < a$ , інакше найменшим цілим буде 0).
Отже, $0 < a \leq 1$ .

Відповідь:

$a \in (0; 1]$ .

Завдання 317

Знаходження параметра за умовою найбільшого цілого розв'язку

За яких значень параметра $a$ найбільший цілий розв'язок системи ${4 x - 7 < 5 (x - 1), x \leq a$ дорівнює 3?

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність: $4 x - 7 < 5 x - 5 \Rightarrow - x < - 5 + 7 \Rightarrow - x < 2 \Rightarrow x > - 2$ .
Друга нерівність системи: $x \leq a$ . Розв'язок системи — це перетин проміжків $(- 2; + \infty)$ і $(- \infty; a]$ . Це проміжок $(- 2; a]$ .
Найбільшим цілим числом у цьому проміжку має бути 3. Це означає, що число 3 має входити в проміжок (тобто $3 \leq a$ ), а число 4 не повинно входити (тобто $a < 4$ , інакше найбільшим цілим буде 4).
Отже, $3 \leq a < 4$ .

Відповідь:

$a \in [3; 4)$ .

Завдання 318

Параметр і додатні корені

Знайти всі цілі значення параметра $a$ , при яких обидва корені рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ є додатними.

Розв’язання

Запишемо умови для додатності коренів рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ :
$Δ \geq 0$ , $x_{1} + x_{2} = 3 a + 5 > 0$ , $x_{1} x_{2} = 2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ .
Розглянемо умову на добуток коренів: $2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ . Ділимо на 2: $a^{2} + 4 a + 3 > 0$ . Корені цього тричлена $- 1$ і $- 3$ . Тричлен додатний при $a < - 3$ або $a > - 1$ .
Розглянемо умову на суму коренів: $3 a + 5 > 0 \Rightarrow a > - \frac{5}{3}$ . Оскільки $- \frac{5}{3} \approx - 1, 67$ , це сузить діапазон до $a > - 1, 67$ . Перетин з попередньою умовою дає $a > - 1$ .
Розглянемо дискримінант: $Δ = (3 a + 5)^{2} - 4 (2 a^{2} + 8 a + 6) = 9 a^{2} + 30 a + 25 - 8 a^{2} - 32 a - 24 = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, умова $Δ \geq 0$ виконується завжди.
Об'єднаємо умови: $a > - 1$ . Знайдемо цілі значення параметра $a$ , що задовольняють цю нерівність.

Відповідь:

$a \in {0, 1, 2, \dots}$

Завдання 320

Кількість цілих значень параметра

Визначити кількість цілих значень параметра $a$ , за яких рівняння $(9 - a) x + 20 - 3 a - 2 a^{2} = 0$ має лише додатні корені.

Розв’язання

Визначимо коефіцієнт при $x$ : $A = 9 - a$ .
Випадок 1: $A \neq = 0$ , тобто $a \neq = 9$ . Рівняння лінійне, має один корінь $x = - \frac{20 - 3 a - 2 a ^{2}}{9 - a}$ .
Для того щоб корінь був додатним ( $x > 0$ ), чисельник і знаменник мають мати однаковий знак.
Розкладемо чисельник на множники: $- (2 a^{2} + 3 a - 20) = - (2 a - 5) (a + 4)$ .
Отже, $x = \frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a}$ .
Потрібно $\frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a} > 0$ . Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів. Корені чисельника: $2, 5$ і $- 4$ . Критична точка знаменника: $9$ .
Знаки змінюються в точках $- 4$ , $2, 5$ , $9$ . Перевіряючи знаки, отримуємо розв'язок $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Випадок 2: $A = 0$ , тобто $a = 9$ . Рівняння перетворюється на $0 x + 20 - 27 - 18 = 0 \Rightarrow - 25 = 0$ (суперечність). Розв'язків немає.
Об'єднаємо розв'язки: $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Знайдемо цілі значення $a$ в цьому проміжку:
Для $(- \infty; - 4)$ : $\dots, - 6, - 5$ . (2 числа).
Для $(2, 5; 9)$ : $3, 4, 5, 6, 7, 8$ . (6 чисел).

Відповідь:

Завдання 321

Параметр у квадратному рівнянні з умовою на корені

Знайти кількість цілих значень параметра $a$ , за яких корені $x_{1}$ і $x_{2}$ рівняння $x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 25 = 0$ задовольняють умову $x_{1} < 1 < x_{2}$ .

Розв’язання

Запишемо умову розташування коренів через функцію $f (x) = x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 25$ . Оскільки парабола відкрита вгору ( $k = 1 > 0$ ), то для того щоб $x_{1} < 1 < x_{2}$ , має виконуватися $f (1) < 0$ .
Підставимо $x = 1$ у вираз: $1^{2} - 4 a \cdot 1 + 4 a^{2} - 25 < 0$ , що спрощується до $4 a^{2} - 4 a - 24 < 0$ .
Поділимо нерівність на 4: $a^{2} - a - 6 < 0$ . Розкладемо на множники: $(a - 3) (a + 2) < 0$ . Розв'язок цієї нерівності: $- 2 < a < 3$ .
Знайдемо цілі числа в проміжку $(- 2; 3)$ : це $- 1, 0, 1, 2$ . Кількість таких чисел — 4.

Відповідь:

Завдання 322

Розв'язання нерівностей з коренями

а) $(x - 3) x - 2 \leq 0$ ; б) $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ ; в) $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ .

Розв’язання

а) ОДЗ: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ . Нерівність $(x - 3) x - 2 \leq 0$ виконується, якщо $x - 3 \leq 0$ (оскільки $x - 2 \geq 0$ ). Отже, $x \leq 3$ . Перетин умов: $2 \leq x \leq 3$ .
б) ОДЗ: $3 x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$ . Нерівність $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ виконується, якщо $2 x - 4 \geq 0$ , тобто $x \geq 2$ . Перетин з ОДЗ дає $x \geq 2$ .
в) ОДЗ: $x^{2} + 3 \geq 0$ — виконується для всіх дійсних $x$ . Нерівність $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ виконується, якщо $5 - 2 x \geq 0$ , тобто $x \leq 2, 5$ .

Відповідь:

а) $[2; 3]$ ; б) $[2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 2, 5]$

Завдання 323

Знаходження найбільшого цілого розв'язку нерівності

а) $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} \geq 2$ ; б) $\frac{2 x + 3}{2 - x} \geq 5$ .

Розв’язання

а) Перенесемо 2 вліво: $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} - 2 \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 2 ( 2 x + 4 )}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 4 x - 8}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{- x - 9}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = - 2$ . Критичні точки: $x = - 9$ (чисельник), $x = - 2$ (знаменник). Перевіряємо знаки: при $x > - 2$ вираз від'ємний, при $- 9 < x < - 2$ вираз додатний. Розв'язок: $(- 9; - 2)$ . Найбільше ціле число в цьому проміжку не існує (бо проміжок відкритий зправа). Перевіримо ще раз знак: $\frac{- ( x + 9 )}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник $2 (x + 2)$ має той самий знак, що й $- (x + 9)$ . Якщо $x > - 2$ , знаменник додатний, чисельник від'ємний — дріб від'ємний. Якщо $x < - 9$ , обидва множники від'ємні (чисельник), дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; - 9]$ . Найбільше ціле число: $- 9$ .
б) Перенесемо 5 вліво: $\frac{2 x + 3}{2 - x} - 5 \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 5 ( 2 - x )}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 10 + 5 x}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{7 x - 7}{2 - x} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = 2$ . Критичні точки: $x = 1$ (чисельник), $x = 2$ (знаменник). Розглянемо знаки: при $x > 2$ знаменник від'ємний, чисельник додатний — дріб від'ємний. При $1 < x < 2$ знаменник додатний, чисельник додатний — дріб додатний. При $x < 1$ обидва від'ємні — дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; 1] \cup (1; 2)$ . Найбільше ціле число в цьому розв'язку — це $1$ .

Відповідь:

а) $- 9$ ; б) $1$