ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 58

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 299–311 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною

Завдання 299

Нерівність з лінійним виразом

Знайти всі значення $x$ , при яких $2 - 5 x \in (- 3; 6)$ .

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $- 3 < 2 - 5 x \Rightarrow - 5 < - 5 x \Rightarrow x < 1$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $2 - 5 x < 6 \Rightarrow - 5 x < 4 \Rightarrow x > - 0, 8$ .
Перетин цих проміжків дає розв'язок системи: $- 0, 8 < x < 1$ .

Відповідь:

Завдання 300

Розв'язування нерівностей з дужками

а) $(x + 2) (x - 7) < 0$ ;
б) $(x - 3) (2 x - 5) > 0$ ;
в) $(3 - 2 z) (1 + z) \geq 0$ ;
г) $(2 y + 8) (7 - 4 y) \leq 0$ ;
ґ) $0, 5 x (x + 3) < 0$ ;
д) $(x^{2} + 1) (5 - x) \leq 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $- 2; 7$ . Знак від'ємний між коренями: $x \in (- 2; 7)$ .
б) Корені: $3; 2, 5$ . Знак додатний зовні коренів: $x \in (- \infty; 2, 5) \cup (3; + \infty)$ .
в) Корені: $- 1; 1, 5$ . Знак невід'ємний всередині коренів: $z \in [- 1; 1, 5]$ .
г) Корені: $- 4; 1, 75$ . Знак від'ємний зовні коренів: $y \in (- \infty; - 4) \cup (1, 75; + \infty)$ .
ґ) Корені: $0; - 3$ . Знак від'ємний між коренями: $x \in (- 3; 0)$ .
д) Перший множник $(x^{2} + 1)$ завжди додатний, тому розв'язок залежить від другого множника: $5 - x \leq 0 \Rightarrow x \geq 5$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 7)$ ; б) $(- \infty; 2, 5) \cup (3; + \infty)$ ; в) $[- 1; 1, 5]$ ; г) $(- \infty; - 4) \cup (1, 75; + \infty)$ ; ґ) $(- 3; 0)$ ; д) $[5; + \infty)$ .

Завдання 301

Розв'язування складених нерівностей

а) $(2 x + 1) (10 x - 7) \geq 0$ ;
б) $(5 - 2 x) (1 - 3 x) \leq 0$ ;
в) $(x^{2} + 5) (x + 5) > 0$ ;
г) $2 x (x - 6) < 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $- 0, 5; 0, 7$ . Знак невід'ємний зовні коренів (включаючи корені): $x \in (- \infty; - 0, 5] \cup [0, 7; + \infty)$ .
б) Корені: $2, 5; 1/3$ . Знак невід'ємний зовні коренів: $x \in (- \infty; 1/3] \cup [2, 5; + \infty)$ .
в) Перший множник $(x^{2} + 5)$ завжди додатний, тому розв'язок залежить від другого: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > - 5$ .
г) Корені: $0; 6$ . Знак від'ємний між коренями: $x \in (0; 6)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 0, 5] \cup [0, 7; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 1/3] \cup [2, 5; + \infty)$ ; в) $(- 5; + \infty)$ ; г) $(0; 6)$ .

Завдання 302

Нерівності з квадратом змінної

а) $x^{2} \leq 25$ ; б) $x^{2} > 16$ ; в) $x^{2} < 2$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $x^{2} = 25$ : $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок — проміжок між коренями включно: $[- 5; 5]$ .
б) Корені рівняння $x^{2} = 16$ : $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок — об'єднання проміжків за коренями: $(- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)$ .
в) Корені рівняння $x^{2} = 2$ : $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок — проміжок між коренями: $(- 2; 2)$ .

Відповідь:

а) $- 5 \leq x \leq 5$ ; б) $x < - 4$ або $x > 4$ ; в) $- 2 < x < 2$ .

Завдання 303

Розв'язання раціональних нерівностей

а) $\frac{x + 3}{x - 7} > 0$ ; б) $\frac{5 - 2 x}{2 x - 7} \geq 0$ ; в) $\frac{3 - x}{2 x - 1} < 0$ .

Розв’язання

а) Нулі: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ ; $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ . Дріб додатний при $x < - 3$ (від'ємний/від'ємний) або $x > 7$ (додатний/додатний). Відповідь: $(- \infty; - 3) \cup (7; + \infty)$ .
б) Нулі: $5 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 2, 5$ ; $2 x - 7 = 0 \Rightarrow x = 3, 5$ . Дріб невід'ємний між коренями, але треба виключити точку, де знаменник дорівнює нулю ( $x = 3, 5$ ). Відповідь: $[2, 5; 3, 5)$ .
в) Нулі: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$ ; $2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Дріб від'ємний при $x < 0, 5$ (від'ємний/додатний — ні) або $x > 3$ (додатний/від'ємний — ні). Перевіримо: при $x = 1$ дріб $\frac{2}{1} > 0$ , при $x = 4$ дріб $\frac{- 1}{7} < 0$ . Отже, розв'язок $x > 3$ . Відповідь: $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x < - 3$ або $x > 7$ ; б) $2, 5 \leq x < 3, 5$ ; в) $x > 3$ .

Завдання 304

Розв'язання нерівностей з дробами

а) $\frac{3 x - 1}{x + 5} \leq 0$ ; б) $\frac{5 - 2 x}{2 + 5 x} > 0$ ; в) $\frac{6 + 3 x}{7 x - 14} \leq 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ ; $x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$ . Дріб $\leq 0$ між коренями, але треба виключити $x = - 5$ . Відповідь: $(- 5; \frac{1}{3}]$ .
б) Корені: $5 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 2, 5$ ; $2 + 5 x = 0 \Rightarrow x = - 0, 4$ . Дріб $> 0$ між коренями, виключаючи кінці проміжку. Відповідь: $(- 0, 4; 2, 5)$ .
в) Корені: $6 + 3 x = 0 \Rightarrow x = - 2$ ; $7 x - 14 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Дріб $\leq 0$ між коренями, виключаючи $x = 2$ . Відповідь: $[- 2; 2)$ .

Відповідь:

а) $- 5 < x \leq \frac{1}{3}$ ; б) $- 0, 4 < x < 2, 5$ ; в) $- 2 \leq x < 2$ .

Завдання 305

Нерівності з параметром n

а) $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ ;
б) $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{3 - n} < \frac{3}{( n - 4 ) ( 3 - n )}$ .

Розв’язання

а) Знайдемо спільний знаменник для лівої частини: $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} = \frac{( n - 1 ) - ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n - 1 )} = \frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ . Оскільки знаменники однакові, порівнюємо чисельники: $- 2 > 1$ — це хибна нерівність. Отже, розв'язків немає.
б) Спростимо ліву частину: $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{- ( n - 3 )} = \frac{3}{n - 4} - \frac{3}{n - 3} = \frac{3 ( n - 3 ) - 3 ( n - 4 )}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3 n - 9 - 3 n + 12}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )} < \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ . Це означає $3 < 3$ , що також є хибним твердженням.

Відповідь:

а) розв'язків немає; б) розв'язків немає.

Завдання 306

Система трьох нерівностей

а) $⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 1 > 5 4 x - 3 < 37 3 x - 5 > 7$ ;
б) $⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 ⩽ 5 x - 8 2 x - 1 ⩽ 4 (2 - x) 2 x - 7 < 3 (1 - x)$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу: $2 x > 6 \Rightarrow x > 3$ . Другу: $4 x < 40 \Rightarrow x < 10$ . Третю: $3 x > 12 \Rightarrow x > 4$ .
Перетин проміжків $(3; + \infty)$ , $(- \infty; 10)$ і $(4; + \infty)$ — це інтервал $(4; 10)$ .
б) Розв'язуємо першу: $3 x - 2 ⩽ 5 x - 8 \Rightarrow - 2 x ⩽ - 6 \Rightarrow x ⩾ 3$ . Другу: $2 x - 1 ⩽ 8 - 4 x \Rightarrow 6 x ⩽ 9 \Rightarrow x ⩽ 1, 5$ . Третю: $2 x - 7 < 3 - 3 x \Rightarrow 5 x < 10 \Rightarrow x < 2$ .
Шукаємо спільну частину для $x ⩾ 3$ , $x ⩽ 1, 5$ і $x < 2$ . Оскільки $3 > 1, 5$ , перетин порожній.

Відповідь:

а) $4 < x < 10$ ; б) розв'язків немає.

Завдання 307

Система подвійних нерівностей

а) ${0 < 1 - 2 x < 1 3 < 3 x + 4 < 5$ ;
б) ${1 < 5 - 3 x < 3 - 3 < 3 - 2 x < 1$ .

Розв’язання

а) Перший рядок: $0 < 1 - 2 x \Rightarrow 2 x < 1 \Rightarrow x < 0, 5$ ; $1 - 2 x < 1 \Rightarrow - 2 x < 0 \Rightarrow x > 0$ . Другий рядок: $3 < 3 x + 4 \Rightarrow 3 x > - 1 \Rightarrow x > - \frac{1}{3}$ ; $3 x + 4 < 5 \Rightarrow 3 x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{3}$ .
Перетин усіх умов: $x > 0$ і $x < \frac{1}{3}$ (оскільки $0 > - \frac{1}{3}$ і $\frac{1}{3} < 0, 5$ ). Отже, $0 < x < \frac{1}{3}$ .
б) Перший рядок: $1 < 5 - 3 x \Rightarrow 3 x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3}$ ; $5 - 3 x < 3 \Rightarrow - 3 x < - 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$ . Другий рядок: $- 3 < 3 - 2 x \Rightarrow 2 x < 6 \Rightarrow x < 3$ ; $3 - 2 x < 1 \Rightarrow - 2 x < - 2 \Rightarrow x > 1$ .
Перетин усіх умов: $x > \frac{2}{3}$ і $x > 1$ (тобто $x > 1$ ), а також $x < \frac{4}{3}$ і $x < 3$ (тобто $x < \frac{4}{3}$ ). Отже, $1 < x < \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

а) $0 < x < \frac{1}{3}$ ; б) $1 < x < \frac{4}{3}$ .

Завдання 308

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣2 x + 3∣ < 5$ ;
б) $∣3 x - 1∣ \geq 2$ ;
в) $∣6 - x ∣ \leq 4$ .

Розв’язання

а) Запишемо подвійну нерівність: $- 5 < 2 x + 3 < 5$ . Віднімемо 3 від усіх частин: $- 8 < 2 x < 2$ . Поділимо на 2: $- 4 < x < 1$ .
б) Розв'яжемо дві нерівності окремо. Перша: $3 x - 1 \geq 2 \Rightarrow 3 x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1$ . Друга: $3 x - 1 \leq - 2 \Rightarrow 3 x \leq - 1 \Rightarrow x \leq - \frac{1}{3}$ .
в) Запишемо подвійну нерівність: $- 4 \leq 6 - x \leq 4$ . Віднімемо 6 від усіх частин: $- 10 \leq - x \leq - 2$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знаки нерівностей: $2 \leq x \leq 10$ .

Відповідь:

а) $(- 4; 1)$ ; б) $(- \infty; - \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)$ ; в) $[2; 10]$ .

Завдання 309

Розв'язування нерівностей з модулем (продовження)

а) $∣3 x - 4∣ < 2$ ;
б) $∣2 x + 5∣ > 3$ ;
в) $∣5 - x ∣ \geq 2$ .

Розв’язання

а) $- 2 < 3 x - 4 < 2$ . Додамо 4: $2 < 3 x < 6$ . Поділимо на 3: $\frac{2}{3} < x < 2$ .
б) Розв'яжемо дві нерівності. Перша: $2 x + 5 > 3 \Rightarrow 2 x > - 2 \Rightarrow x > - 1$ . Друга: $2 x + 5 < - 3 \Rightarrow 2 x < - 8 \Rightarrow x < - 4$ .
в) Розв'яжемо як подвійну нерівність: $- 2 \leq 5 - x \leq 2$ . Віднімемо 5: $- 7 \leq - x \leq - 3$ . Помножимо на $- 1$ : $3 \geq x \geq 7$ , що неможливо, оскільки $3 < 7$ . Перевіримо знаки: $- 2 \leq 5 - x \Rightarrow x \leq 7$ ; $5 - x \leq 2 \Rightarrow - x \leq - 3 \Rightarrow x \geq 3$ . Отже, $[3; 7]$ .

Відповідь:

а) $(\frac{2}{3}; 2)$ ; б) $(- \infty; - 4) \cup (- 1; + \infty)$ ; в) $[3; 7]$ .

Завдання 310

Порівняння нерівностей з квадратом та модулем

Чи правильно, якщо число $a$ додатне, що:
а) $x^{2} < a^{2}$ рівносильна $∣ x ∣ < a$ ;
б) $x^{2} > a^{2}$ рівносильна $∣ x ∣ > a$ .

Розв’язання

а) Якщо $x^{2} < a^{2}$ , то беремо квадратний корінь: $x^{2} < a^{2}$ . Оскільки $y^{2} = ∣ y ∣$ , отримуємо $∣ x ∣ < a$ . Це рівносильність.
б) Якщо $x^{2} > a^{2}$ , то беремо квадратний корінь: $x^{2} > a^{2}$ , що дає $∣ x ∣ > a$ . Це також рівносильність.

Відповідь:

а) Так, рівносильна; б) Так, рівносильна.

Завдання 311

Розв'язування нерівностей з квадратом

а) $(x + 2)^{2} > 16$ ;
б) $(x - 1)^{2} < 4$ ;
в) $(2 x + 1)^{2} < 9$ .

Розв’язання

а) Знайди корені рівняння $(x + 2)^{2} = 16$ . Корені: $- 2$ та $4$ . Оскільки знак нерівності «більше», розв'язок — це об'єднання проміжків за межами коренів: $x < - 6$ або $x > 2$ .
б) Знайди корені рівняння $(x - 1)^{2} = 4$ . Корені: $- 1$ та $3$ . Оскільки знак «менше», розв'язок — це проміжок між коренями: $- 1 < x < 3$ .
в) Знайди корені рівняння $(2 x + 1)^{2} = 9$ . Корені: $- 2$ та $4$ . Оскільки знак «менше», розв'язок — проміжок між коренями: $- 2 < x < 4$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ ; б) $(- 1; 3)$ ; в) $(- 2; 4)$ .