ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 57

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 293–298 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною

Завдання 293

Область визначення виразів із коренями

Знайти множину значень $x$ , при яких мають зміст:
а) $5 - x + x - 3$ ;
б) $2 x - 1 - 3 x + 2$ ;
в) $x + 3 + \frac{1}{x - 3}$ .

Розв’язання

а) Запишемо систему: $5 - x \geq 0$ і $x - 3 \geq 0$ . Розв'яжемо: $x \leq 5$ та $x \geq 3$ . Перетин цих проміжків: $[3; 5]$ .
б) Запишемо систему: $2 x - 1 \geq 0$ і $3 x + 2 \geq 0$ . Розв'яжемо: $x \geq 0, 5$ та $x \geq - \frac{2}{3}$ . Оскільки $0, 5 > - \frac{2}{3}$ , то умова виконується при $x \geq 0, 5$ . Відповідь: $[0, 5; + \infty)$ .
в) Запишемо умови для кореня та знаменника окремо: $x + 3 \geq 0$ і $x - 3 > 0$ . Розв'язуємо: $x \geq - 3$ і $x > 3$ . Перетин множин: $x > 3$ . Відповідь: $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[3; 5]$ ; б) $[0, 5; + \infty)$ ; в) $(3; + \infty)$ .

Завдання 294

Область визначення виразів із коренями

Знайти множину значень $x$ , при яких мають зміст:
а) $x - 6 - x + 8$ ;
б) $2 x - 9 + 18 - 3 x$ ;
в) $\frac{2 x + 3}{5} + \frac{5}{3 x + 2}$ .

Розв’язання

а) Система: $x - 6 \geq 0$ і $x + 8 \geq 0$ . Розв'язуємо: $x \geq 6$ та $x \geq - 8$ . Перетин: $x \geq 6$ . Відповідь: $[6; + \infty)$ .
б) Система: $2 x - 9 \geq 0$ і $18 - 3 x \geq 0$ . Розв'язуємо: $x \geq 4, 5$ та $x \leq 6$ . Перетин проміжків: $[4, 5; 6]$ .
в) Система: $2 x + 3 \geq 0$ і $3 x + 2 > 0$ (знаменник не нуль). Розв'язуємо: $x \geq - 1, 5$ та $x > - \frac{2}{3}$ . Оскільки $- \frac{2}{3} > - 1, 5$ , то умова виконується при $x > - \frac{2}{3}$ . Відповідь: $(- \frac{2}{3}; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[6; + \infty)$ ; б) $[4, 5; 6]$ ; в) $(- \frac{2}{3}; + \infty)$ .

Завдання 295

Область визначення функцій із коренями та дробами

Знайти множину значень $x$ , при яких визначені функції:
а) $x + 4 - \frac{6 x - 2}{3 - 5 x}$ ;
б) $\frac{2}{3 x - 9} + \frac{2 x}{11 - 2 x}$ ;
в) $15 - 5 x + \frac{0 , 5 x + 7}{x}$ .

Розв’язання

а) Умови: $x + 4 \geq 0$ , $3 - 5 x > 0$ . Розв'язуємо: $x \geq - 4$ та $x < 0, 6$ . Перетин: $[- 4; 0, 6)$ .
б) Умови: $3 x - 9 > 0$ , $11 - 2 x > 0$ . Розв'язуємо: $x > 3$ та $x < 5, 5$ . Перетин проміжків: $(3; 5, 5)$ .
в) Умови: $15 - 5 x \geq 0$ , $0, 5 x + 7 > 0$ (під коренем у знаменнику), $x \neq = 0$ . Розв'язуємо: $x \leq 3$ , $x > - 14$ , $x \neq = 0$ . Перетин множин: $[- 3; 0) \cup (0; 3]$ .

Відповідь:

а) $[- 4; 0, 6)$ ; б) $(3; 5, 5)$ ; в) $[- 3; 0) \cup (0; 3]$ .

Завдання 296

Область визначення виразів з коренями

Знайти значення $x$ , при яких мають зміст вирази:
а) $x - 3 + \frac{2}{20 - 3 x}$ ;
б) $\frac{x}{6 x - 12} + \frac{2 - x}{13 + 2 x}$ ;
в) $6 x - 39 + \frac{8 - 0 , 5 x}{x + 5}$ .

Розв’язання

Пункт а):
- Перший доданок $x - 3$ існує при $x - 3 \geq 0$ , тобто $x \geq 3$ .
- Другий доданок $\frac{2}{20 - 3 x}$ має корінь у знаменнику, тому $20 - 3 x > 0$ , звідки $3 x < 20$ або $x < \frac{20}{3}$ .
- Об'єднуємо умови: $3 \leq x < \frac{20}{3}$ .
Пункт б):
- У першому доданку корінь у знаменнику: $6 x - 12 > 0 \Rightarrow 6 x > 12 \Rightarrow x > 2$ .
- У другому доданку корінь у знаменнику: $13 + 2 x > 0 \Rightarrow 2 x > - 13 \Rightarrow x > - 6, 5$ .
- Об'єднуємо умови ( $x$ має задовольняти обидві): $x > 2$ .
Пункт в):
- Перший корінь: $6 x - 39 \geq 0 \Rightarrow 6 x \geq 39 \Rightarrow x \geq 6, 5$ .
- Другий корінь у чисельнику: $8 - 0, 5 x \geq 0 \Rightarrow 0, 5 x \leq 8 \Rightarrow x \leq 16$ .
- Знаменник дробу не може бути нулем: $x + 5 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 5$ .
- Перетин умов: $6, 5 \leq x \leq 16$ (умова $x \neq = - 5$ виконується автоматично).

Відповідь:

а) $3 \leq x < \frac{20}{3}$ ; б) $x > 2$ ; в) $6, 5 \leq x \leq 16$ .

Завдання 297

Нерівності для виразу з лінійною функцією

Знайти значення $x$ , при яких $4 x - 1$ належить проміжку:
а) $(1; 2)$ ;
б) $[- 2; 0]$ ;
в) $(- \infty; 0)$ ;
г) $[3; 7]$ .

Розв’язання

Пункт а):
- Нерівність: $1 < 4 x - 1 < 2$ .
- Додамо 1 до всіх частин: $2 < 4 x < 3$ .
- Поділимо на 4: $\frac{2}{4} < x < \frac{3}{4}$ , тобто $0, 5 < x < 0, 75$ .
Пункт б):
- Нерівність: $- 2 \leq 4 x - 1 \leq 0$ .
- Додамо 1: $- 1 \leq 4 x \leq 1$ .
- Поділимо на 4: $- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4}$ , тобто $- 0, 25 \leq x \leq 0, 25$ .
Пункт в):
- Нерівність: $4 x - 1 < 0$ .
- Додамо 1: $4 x < 1$ .
- Поділимо на 4: $x < 0, 25$ .
Пункт г):
- Нерівність: $3 \leq 4 x - 1 \leq 7$ .
- Додамо 1: $4 \leq 4 x \leq 8$ .
- Поділимо на 4: $1 \leq x \leq 2$ .

Відповідь:

а) $0, 5 < x < 0, 75$ ; б) $- 0, 25 \leq x \leq 0, 25$ ; в) $x < 0, 25$ ; г) $1 \leq x \leq 2$ .

Завдання 298

Нерівності для виразу з лінійною функцією (англійською)

Знайти значення $c$ , при яких $\frac{2 - 3 c}{4}$ належить проміжку:
а) $(- \infty; 0)$ ;
б) $[0; + \infty)$ ;
в) $(- 1; 1)$ ;
г) $[1; 8]$ .

Розв’язання

Пункт а):
- Нерівність: $\frac{2 - 3 c}{4} < 0$ .
- Помножимо на 4 (знак не змінюється): $2 - 3 c < 0$ .
- Перенесемо 2: $- 3 c < - 2$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знак нерівності на протилежний: $c > \frac{2}{3}$ .
Пункт б):
- Нерівність: $\frac{2 - 3 c}{4} \geq 0$ .
- Помножимо на 4: $2 - 3 c \geq 0$ .
- Перенесемо 2: $- 3 c \geq - 2$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знак: $c \leq \frac{2}{3}$ .
Пункт в):
- Нерівність: $- 1 < \frac{2 - 3 c}{4} < 1$ .
- Помножимо на 4: $- 4 < 2 - 3 c < 4$ .
- Віднімемо 2 від усіх частин: $- 6 < - 3 c < 2$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знаки нерівностей: $2 > c > - \frac{2}{3}$ . Записуємо як $- \frac{2}{3} < c < 2$ .
Пункт г):
- Нерівність: $1 \leq \frac{2 - 3 c}{4} \leq 8$ .
- Помножимо на 4: $4 \leq 2 - 3 c \leq 32$ .
- Віднімемо 2: $2 \leq - 3 c \leq 30$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знаки: $- \frac{2}{3} \geq c \geq - 10$ . Записуємо як $- 10 \leq c \leq - \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

а) $c > \frac{2}{3}$ ; б) $c \leq \frac{2}{3}$ ; в) $- \frac{2}{3} < c < 2$ ; г) $- 10 \leq c \leq - \frac{2}{3}$ .