ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 56

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 279–289 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною

Завдання 279

Розв'язання системи лінійних нерівностей

Знайти множину значень $x$ , що задовольняють обидві нерівності одночасно:
1) $3 x - 2 \geq 5 x - 6$
2) $7 x + 1 \leq 4 x - 5$

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $3 x - 2 \geq 5 x - 6$ . Перенесемо $5 x$ у ліву частину ( $3 x - 5 x$ ), а $- 2$ — у праву ( $- (- 6)$ ): $- 2 x \geq - 4$ . Поділимо на $- 2$ , пам'ятаючи, що знак нерівності змінюється: $x \leq 2$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $7 x + 1 \leq 4 x - 5$ . Перенесемо $4 x$ у ліву частину ( $7 x - 4 x$ ), а $1$ — у праву ( $- (- 5)$ ): $3 x \leq - 6$ . Поділимо на $3$ : $x \leq - 2$ .
Знайдемо спільну частину розв'язків: $x \leq 2$ і $x \leq - 2$ . Оскільки будь-яке число, менше за $- 2$ , також є меншим за $2$ , то спільним розв'язком буде $x \leq - 2$ .

Відповідь:

$(- \infty; - 2]$

Завдання 280

Кількість цілих розв'язків системи нерівностей

Система нерівностей:
1) $\frac{x}{2} - 1 > \frac{x}{3}$
2) $x - 1 < 7$
Потрібно знайти кількість цілих чисел, що задовольняють цю систему.

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $\frac{x}{2} - 1 > \frac{x}{3}$ . Помножимо всі частини на 6 (найменше спільне кратне знаменників): $3 x - 6 > 2 x$ . Перенесемо $2 x$ у ліву частину, а $- 6$ — у праву: $x > 6$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $x - 1 < 7$ . Додамо 1 до обох частин: $x < 8$ .
Знайдемо спільний розв'язок: $x > 6$ і $x < 8$ . Це інтервал $(6; 8)$ . Єдине ціле число, яке лежить між 6 і 8 (не включаючи їх), це 7.

Відповідь:

Завдання 281

Цілі розв'язки системи нерівностей з параметром

n

Система нерівностей:
1) $2 n + 3 < 4 (3 n - 5)$
2) $8 - 4 n < 7 - 2 (4 n - 13)$
Потрібно знайти всі цілі значення $n$ , що задовольняють цю систему.

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $2 n + 3 < 12 n - 20$ . Перенесемо $12 n$ у ліву частину ( $2 n - 12 n$ ), а $3$ — у праву ( $- (- 20)$ ): $- 10 n < - 23$ . Поділимо на $- 10$ , змінюючи знак нерівності: $n > 2, 3$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $8 - 4 n < 7 - 8 n + 26$ . Спростимо праву частину: $8 - 4 n < 33 - 8 n$ . Перенесемо $- 8 n$ у ліву частину ( $- 4 n + 8 n$ ), а $8$ — у праву ( $- 33$ ): $4 n < 25$ . Поділимо на 4: $n < 6, 25$ .
Знайдемо спільний розв'язок: $2, 3 < n < 6, 25$ . Цілі числа в цьому проміжку: $3, 4, 5, 6$ .

Відповідь:

$3; 4; 5; 6$

Завдання 282

Знайдення найменшого розв'язку системи

Знайти найменший розв'язок системи нерівностей:
1) $2 x - 6 > 4 (x + 3) - 5$
2) $3 (x + 5) \geq - x - 13$

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $2 x - 6 > 4 x + 12 - 5 \Rightarrow 2 x - 6 > 4 x + 7 \Rightarrow - 13 > 2 x \Rightarrow x < - 6, 5$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $3 x + 15 \geq - x - 13 \Rightarrow 4 x \geq - 28 \Rightarrow x \geq - 7$ .
Знайдемо спільну частину розв'язків: $- 7 \leq x < - 6, 5$ .

Відповідь:

Найменший розв'язок дорівнює $- 7$ .

Завдання 283

Знайдення найбільшого розв'язку системи

Знайти найбільший розв'язок системи нерівностей:
1) $n (n + 1) > (n + 2) (n - 2)$
2) $(n - 3)^{2} \geq 3 - n (2 - n)$

Розв’язання

Перша нерівність: $n^{2} + n > n^{2} - 4 \Rightarrow n > - 4$ .
Друга нерівність: $n^{2} - 6 n + 9 \geq 3 - 2 n + n^{2} \Rightarrow - 4 n \geq - 6 \Rightarrow n \leq 1, 5$ .
Спільний розв'язок системи: $- 4 < n \leq 1, 5$ .

Відповідь:

Найбільший розв'язок дорівнює $1, 5$ .

Завдання 284

Сума цілих розв'язків системи

Знайти суму цілих розв'язків системи нерівностей:
1) $2 x + 6 \geq - 7 (x + 1) - 8$
2) $3 x + 6 > 5 x + 2 (x - 1)$

Розв’язання

Перша нерівність: $2 x + 6 \geq - 7 x - 7 - 8 \Rightarrow 9 x \geq - 21 \Rightarrow x \geq - \frac{7}{3} \approx - 2, 33$ .
Друга нерівність: $3 x + 6 > 5 x + 2 x - 2 \Rightarrow 3 x + 6 > 7 x - 2 \Rightarrow 8 > 4 x \Rightarrow x < 2$ .
Множина розв'язків системи: $- \frac{7}{3} \leq x < 2$ . Цілі числа в цьому проміжку: $- 2, - 1, 0, 1$ .

Відповідь:

Сума цілих розв'язків дорівнює $(- 2) + (- 1) + 0 + 1 = - 2$ .

Завдання 285

Гра з подвійними нерівностями

Один учень записує подвійну нерівність, інший — відповідну систему. Потім ролі міняються. Розв'яжіть подвійну нерівність (пункти 286, 287).

Розв’язання

Розв'язуємо нерівність $- 2 < 3 x - 4 < 5$ : додаємо 4 до всіх членів ( $2 < 3 x < 9$ ), ділимо на 3 ( $\frac{2}{3} < x < 3$ ).
Розв'язуємо нерівність $3 < 2 - x < 5$ : віднімаємо 2 ( $1 < - x < 3$ ), множимо на -1 і змінюємо знаки нерівності ( $- 3 < x < - 1$ ).
Розв'язуємо нерівність $0, 4 \leq 2 x + 1 \leq 0, 6$ : віднімаємо 1 ( $- 0, 6 \leq 2 x \leq - 0, 4$ ), ділимо на 2 ( $- 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ ).

Відповідь:

а) $\frac{2}{3} < x < 3$ ; б) $- 3 < x < - 1$ ; в) $- 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ .

Завдання 286

Розв'язання подвійних нерівностей (перші три пункти)

а) $- 2 < 3 x - 4 < 5$ ; б) $3 < 2 - x < 5$ ; в) $0, 4 \leq 2 x + 1 \leq 0, 6$ .

Розв’язання

Пункт а): $- 2 < 3 x - 4 < 5 \Rightarrow - 2 + 4 < 3 x < 5 + 4 \Rightarrow 2 < 3 x < 9 \Rightarrow \frac{2}{3} < x < 3$ .
Пункт б): $3 < 2 - x < 5 \Rightarrow 3 - 2 < - x < 5 - 2 \Rightarrow 1 < - x < 3 \Rightarrow - 1 > x > - 3$ (або $- 3 < x < - 1$ ).
Пункт в): $0, 4 \leq 2 x + 1 \leq 0, 6 \Rightarrow 0, 4 - 1 \leq 2 x \leq 0, 6 - 1 \Rightarrow - 0, 6 \leq 2 x \leq - 0, 4 \Rightarrow - 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ .

Відповідь:

а) $\frac{2}{3} < x < 3$ ; б) $- 3 < x < - 1$ ; в) $- 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ .

Завдання 287

Розв'язання подвійних нерівностей (останні три пункти)

а) $7 \leq 3 + 2 x \leq 12$ ; б) $- 4 \leq 2 - 3 z < - 1$ ; в) $- 2, 5 < 7, 5 + 5 x \leq 1, 5$ .

Розв’язання

Пункт а): $7 \leq 3 + 2 x \leq 12 \Rightarrow 4 \leq 2 x \leq 9 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4, 5$ .
Пункт б): $- 4 \leq 2 - 3 z < - 1 \Rightarrow - 6 \leq - 3 z < - 3 \Rightarrow 2 \geq z > 1$ (або $1 < z \leq 2$ ).
Пункт в): $- 2, 5 < 7, 5 + 5 x \leq 1, 5 \Rightarrow - 10 < 5 x \leq - 6 \Rightarrow - 2 < x \leq - 1, 2$ .

Відповідь:

а) $2 \leq x \leq 4, 5$ ; б) $1 < z \leq 2$ ; в) $- 2 < x \leq - 1, 2$ .

Завдання 288

Система нерівностей з параметром

a

Знайти декілька значень $a$ , щоб кожна з систем мала розв'язок або не мала розв'язків.
1) ${x > a, x < 3;$
2) ${- x < a, x < - 3;$
3) ${x ⩾ a, - x ⩾ 2.$

Розв’язання

Для системи 1): ${x > a x < 3$ має розв'язок, якщо $a < 3$ . Наприклад, $a = 2$ (тоді $2 < x < 3$ ). Не має розв'язків, якщо $a ⩾ 3$ .
Для системи 2): ${- x < a x < - 3$ перетворюється на ${x > - a x < - 3$ . Має розв'язок, якщо $- a < - 3$ , тобто $a > 3$ . Не має розв'язків, якщо $a ⩽ 3$ .
Для системи 3): ${x ⩾ a x ⩽ - 2$ (друга нерівність: $- x ⩾ 2 \Rightarrow x ⩽ - 2$ ). Має розв'язок, якщо $a ⩽ - 2$ . Не має розв'язків, якщо $a > - 2$ .

Відповідь:

1) Мала розв'язок: $a < 3$ (напр., $0, 1, 2$ ). Не мала розв'язків: $a ⩾ 3$ .
2) Мала розв'язок: $a > 3$ (напр., $4, 5, 6$ ). Не мала розв'язків: $a ⩽ 3$ .
3) Мала розв'язок: $a ⩽ - 2$ (напр., $- 3, - 4, - 5$ ). Не мала розв'язків: $a > - 2$ .

Завдання 289

Системи нерівностей з квадратними виразами

Розв'язати системи:
а) ${c^{2} - 3 < (c + 3)^{2}, 2 c + c^{2} > (c - 2)^{2};$
б) ${5 - (x + 3)^{2} > (x - 2) (1 - x), x (x + 7) < (x + 7)^{2} - 7;$

Розв’язання

Система а):
Перша нерівність: $c^{2} - 3 < c^{2} + 6 c + 9 \Rightarrow - 3 < 6 c + 9 \Rightarrow - 12 < 6 c \Rightarrow c > - 2$ .
Друга нерівність: $2 c + c^{2} > c^{2} - 4 c + 4 \Rightarrow 2 c > - 4 c + 4 \Rightarrow 6 c > 4 \Rightarrow c > \frac{2}{3}$ .
Перетин проміжків: $c > \frac{2}{3}$ .
Система б):
Перша нерівність: $5 - (x^{2} + 6 x + 9) > x - x^{2} - 2 \Rightarrow 5 - x^{2} - 6 x - 9 > x - x^{2} - 2 \Rightarrow - 4 - 6 x > x - 2 \Rightarrow - 7 x > 2 \Rightarrow x < - \frac{2}{7}$ .
Друга нерівність: $x^{2} + 7 x < x^{2} + 14 x + 49 - 7 \Rightarrow x^{2} + 7 x < x^{2} + 14 x + 42 \Rightarrow 7 x < 14 x + 42 \Rightarrow - 7 x < 42 \Rightarrow x > - 6$ .
Перетин проміжків: $- 6 < x < - \frac{2}{7}$ .

Відповідь:

а) $c \in (\frac{2}{3}; + \infty)$
б) $x \in (- 6; - \frac{2}{7})$