ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 55

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 271–278 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною

Завдання 271

Системи нерівностей з однією змінною

а) ${x \leq - 3, x < 5;$
б) ${x \leq - 3, x > 5;$
в) ${x > - 3, x \leq 5.$

Розв’язання

Розглянемо пункт а): перша нерівність дає $x \in (- \infty; - 3]$ , друга — $x \in (- \infty; 5)$ . Перетин цих множин: числа, які менші або дорівнюють $- 3$ і одночасно менші за $5$ . Оскільки всі числа $\leq - 3$ автоматично є $< 5$ , спільна частина — це проміжок $(- \infty; - 3]$ .
Розглянемо пункт б): перша нерівність вимагає $x \leq - 3$ , друга — $x > 5$ . Числа не можуть одночасно бути меншими або рівними $- 3$ і більшими за $5$ . Перетин множин порожній, тому розв'язків немає.
Розглянемо пункт в): перша нерівність дає $x \in (- 3; + \infty)$ , друга — $x \in [- 5; 5]$ . Шукаємо числа, які є більшими за $- 3$ і одночасно меншими або рівними $5$ . Спільна частина: проміжок $(- 3; 5]$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 3]$
б) система розв'язків немає (порожня множина)
в) $(- 3; 5]$

Завдання 274

Розв'язування систем лінійних нерівностей змінною y

а) ${5 y - 6 < 2 y 3 - 2 y < y$ ;
б) ${4 - 3 y \geq 2 y y - 3 \geq 4$ ;
в) ${5 y - 8 \leq 3 y 1 - 4 y > 5$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу нерівність: $5 y - 2 y < 6 \Rightarrow 3 y < 6 \Rightarrow y < 2$ .
Друга нерівність: $- 2 y - y < - 3 \Rightarrow - 3 y < - 3 \Rightarrow y > 1$ . Перетин проміжків $(1; 2)$ .
б) Перша нерівність: $4 - 2 y \geq 2 y \Rightarrow 4 \geq 4 y \Rightarrow 1 \geq y$ (або $y \leq 1$ ). Друга: $y \geq 7$ . Перетин порожній, оскільки число не може бути і $\leq 1$ , і $\geq 7$ одночасно.
в) Перша нерівність: $5 y - 3 y \leq 8 \Rightarrow 2 y \leq 8 \Rightarrow y \leq 4$ . Друга: $- 4 y > 4 \Rightarrow y < - 1$ . Перетин проміжків $(- \infty; - 1)$ .

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ; б) система розв'язків не має; в) $(- \infty; - 1)$ .

Завдання 275

Розв'язування систем нерівностей з дужками та від'ємними коефіцієнтами

а) ${15 - 3 x < 9 x - 12 8 x - 7 > 5 x + 4$ ;
б) ${12 - z < 8 z - 15 7 z - 6 > 6 z + 4$ ;
в) ${2 (x - 3) \leq 5 x + 7 3 + 4 x > 3 (x - 5)$ ;
г) ${5 (x + 2) \geq 2 x - 4 3 (x + 3) < 7 - 8 x$ .

Розв’язання

а) Перша: $15 + 12 < 9 x + 3 x \Rightarrow 27 < 12 x \Rightarrow x > 2, 25$ . Друга: $8 x - 5 x > 4 + 7 \Rightarrow 3 x > 11 \Rightarrow x > 3 \frac{2}{3}$ . Спільна частина: $(3 \frac{2}{3}; + \infty)$ .
б) Перша: $12 + 15 < 8 z + z \Rightarrow 27 < 9 z \Rightarrow z > 3$ . Друга: $7 z - 6 z > 4 + 6 \Rightarrow z > 10$ . Спільна частина: $(10; + \infty)$ .
в) Перша: $2 x - 6 \leq 5 x + 7 \Rightarrow - 13 \leq 3 x \Rightarrow x \geq - 4 \frac{1}{3}$ . Друга: $3 + 4 x > 3 x - 15 \Rightarrow x > - 18$ . Спільна частина: $[- 4 \frac{1}{3}; + \infty)$ .
г) Перша: $5 x + 10 \geq 2 x - 4 \Rightarrow 3 x \geq - 14 \Rightarrow x \geq - 4 \frac{2}{3}$ . Друга: $3 x + 9 < 7 - 8 x \Rightarrow 11 x < - 2 \Rightarrow x < - \frac{2}{11}$ . Спільна частина: $[- 4 \frac{2}{3}; - \frac{2}{11})$ .

Відповідь:

а) $(3 \frac{2}{3}; + \infty)$ ; б) $(10; + \infty)$ ; в) $[- 4 \frac{1}{3}; + \infty)$ ; г) $[- 4 \frac{2}{3}; - \frac{2}{11})$ .

Завдання 276

Розв'язування систем нерівностей з дужками та від'ємними коефіцієнтами при змінній

а) ${3 - 2 (x - 1) < 0 5 - 3 (x - 4) > 0$ ;
б) ${- 4 (2 x - 1) < 3 - 5 (x - 3) \geq 4$ ;
в) ${x \leq 2 - 3 x + 1 5 x \geq 3 + (x - 4)$ ;
г) ${8 (1 + x) > 3 (2 x - 1) 5 < 3 x - 2 (8 x - 3)$ .

Розв’язання

а) Перша: $3 - 2 x + 2 < 0 \Rightarrow 5 < 2 x \Rightarrow x > 2, 5$ . Друга: $5 - 3 x + 12 > 0 \Rightarrow 17 > 3 x \Rightarrow x < 5 \frac{2}{3}$ . Перетин: $(2, 5; 5 \frac{2}{3})$ .
б) Перша: $- 8 x + 4 < 3 \Rightarrow - 8 x < - 1 \Rightarrow x > 0, 125$ . Друга: $- 5 x + 15 \geq 4 \Rightarrow - 5 x \geq - 11 \Rightarrow x \leq 2, 2$ . Перетин: $(0, 125; 2, 2]$ .
в) Перша: $x \leq 3 - 3 x \Rightarrow 4 x \leq 3 \Rightarrow x \leq 0, 75$ . Друга: $5 x \geq 3 + x - 4 \Rightarrow 4 x \geq - 1 \Rightarrow x \geq - 0, 25$ . Перетин: $[- 0, 25; 0, 75]$ .
г) Перша: $8 + 8 x > 6 x - 3 \Rightarrow 2 x > - 11 \Rightarrow x > - 5, 5$ . Друга: $5 < 3 x - 16 x + 6 \Rightarrow 5 < - 13 x + 6 \Rightarrow - 1 < - 13 x \Rightarrow x < \frac{1}{13}$ . Перетин: $(- 5, 5; \frac{1}{13})$ .

Відповідь:

а) $(2, 5; 5 \frac{2}{3})$ ; б) $(0, 125; 2, 2]$ ; в) $[- 0, 25; 0, 75]$ ; г) $(- 5, 5; \frac{1}{13})$ .

Завдання 277

Розв'язання систем лінійних нерівностей з дробами та десятковими числами

а) ${2 x - 0, 2 (x - 2) > 4 \frac{x}{2} - 6 \leq \frac{x}{8}$ ;
б) ${4 - \frac{x - 1}{3} \geq x 7 x - 1 \geq 48$ ;
в) ${0, 5 x + 3 \leq 2, 5 - 3 x 5 - 0, 2 x \leq 0, 2 - 5 x$ ;
г) ${0, 4 z + 2 \geq 3, 5 - 2 z 7 - 1, 3 z \geq 0, 3 - 5 z$ .

Розв’язання

Підпункт а):
Розв'язуємо першу нерівність: $2 x - 0, 2 x + 0, 4 > 4 \Rightarrow 1, 8 x > 3, 6 \Rightarrow x > 2$ .
Розв'язуємо другу нерівність: помножимо на 8 $\Rightarrow 4 x - 48 \leq x \Rightarrow 3 x \leq 48 \Rightarrow x \leq 16$ .
Перетин проміжків $(2; + \infty)$ і $(- \infty; 16]$ — це інтервал $(2; 16]$ .
Підпункт б):
Розв'язуємо першу нерівність: помножимо на 3 $\Rightarrow 12 - (x - 1) \geq 3 x \Rightarrow 13 \geq 4 x \Rightarrow x \leq 3, 25$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $7 x \geq 49 \Rightarrow x \geq 7$ .
Перетин проміжків $(- \infty; 3, 25]$ і $[7; + \infty)$ — порожня множина.
Підпункт в):
Розв'язуємо першу нерівність: $0, 5 x + 3 x \leq 2, 5 - 3 \Rightarrow 3, 5 x \leq - 0, 5 \Rightarrow x \leq - \frac{1}{7}$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $- 0, 2 x + 5 x \leq 0, 2 - 5 \Rightarrow 4, 8 x \leq - 4, 8 \Rightarrow x \leq - 1$ .
Оскільки $- \frac{1}{7} \approx - 0, 14$ , то проміжок $(- \infty; - 1]$ міститься в $(- \infty; - \frac{1}{7}]$ . Перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Підпункт г):
Розв'язуємо першу нерівність: $0, 4 z + 2 z \geq 3, 5 - 2 \Rightarrow 2, 4 z \geq 1, 5 \Rightarrow z \geq \frac{1 , 5}{2 , 4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} = 0, 625$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $- 1, 3 z + 5 z \geq 0, 3 - 7 \Rightarrow 3, 7 z \geq - 6, 7 \Rightarrow z \geq - \frac{6 , 7}{3 , 7} = - \frac{67}{37} \approx - 1, 81$ .
Оскільки $0, 625 > - 1, 81$ , то перетин: $[0, 625; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(2; 16]$ ; б) розв'язків немає; в) $(- \infty; - 1]$ ; г) $[\frac{5}{8}; + \infty)$ .

Завдання 278

Встановлення відповідності між системами нерівностей та їх розв'язками

Потрібно знайти правильну пару для кожної з трьох систем (1, 2, 3) і вибрати відповідний варіант (А, Б, В, Г, Д).

Розв’язання

Система 1: ${0, 8 x - 3 \geq 4 - 0, 6 x 0, 8 x + 1 \geq 9 + x$
Перша нерівність: $0, 8 x + 0, 6 x \geq 7 \Rightarrow 1, 4 x \geq 7 \Rightarrow x \geq 5$ .
Друга нерівність: $0, 8 x - x \geq 8 \Rightarrow - 0, 2 x \geq 8 \Rightarrow x \leq - 40$ .
Перетин проміжків $[5; + \infty)$ і $(- \infty; - 40]$ — порожня множина. Відповідає варіанту Д.
Система 2: ${1 - 1, 5 x < x - 4 1 + 1, 8 x < 16 - 1, 2 x$
Перша нерівність: $- 1, 5 x - x < - 5 \Rightarrow - 2, 5 x < - 5 \Rightarrow x > 2$ .
Друга нерівність: $1, 8 x + 1, 2 x < 15 \Rightarrow 3 x < 15 \Rightarrow x < 5$ .
Перетин проміжків $(2; + \infty)$ і $(- \infty; 5)$ — це інтервал $(2; 5)$ . Відповідає варіанту Б.
Система 3: ${\frac{x - 1}{2} < \frac{x - 2}{3} 2 x - 3 \leq 0$
Перша нерівність: помножимо на 6 $\Rightarrow 3 (x - 1) < 2 (x - 2) \Rightarrow 3 x - 3 < 2 x - 4 \Rightarrow x < - 1$ .
Друга нерівність: $2 x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1, 5$ .
Перетин проміжків $(- \infty; - 1)$ і $(- \infty; 1, 5]$ — це інтервал $(- \infty; - 1)$ . Відповідає варіанту Г.

Відповідь:

1 — Д; 2 — Б; 3 — Г.