Сторінка 54

Розв’язання

1. Проаналізуємо варіант А: $x>3$ і $x<2$. Число не може бути більшим за 3 і одночасно меншим за 2. Перетин цих проміжків порожній.

2. Перевіримо інші варіанти для впевненості: Б має розв'язок $(0;5)$, В має розв'язок $(-3;2)$, Г має розв'язок $(-\infty ;2]$.

Розв’язання

1. Перша нерівність $2x\ge 0$ дає $x\ge 0$.

2. Друга нерівність $3x<6$ ділимо на 3, отримуємо $x<2$.

3. Перетин цих умов — проміжок $[0;2)$.

4. Перевіряємо числа: 2 не підходить (бо $x<2$, а не $\le$), 3 не підходить, 6 не підходить. Число 0 належить проміжку $[0;2)$.

Розв’язання

1. Перша нерівність $x\le 2$ означає, що ми беремо все, що менше або дорівнює 2.

2. Друга нерівність $x>-3$ означає, що ми беремо все, що більше -3 (точка -3 не входить).

3. Перетин цих умов дає проміжок $(-3;2]$.

Розв’язання

1. Розглянемо а) $|x|<3$. Це рівносильно системі $\{\begin{array}{l}x<3\\ x>-3\end{array}$, тобто перетину проміжків $(-3;3)$.

2. Розглянемо б) $|x|-1<0,5\Rightarrow |x|<1,5$. Це рівносильно системі $\{\begin{array}{l}x<1,5\\ x>-1,5\end{array}$ (перетин).

3. Розглянемо в) $|x|>5$. Це рівносильна сукупності $\{\begin{array}{l}x>5\\ x<-5\end{array}$ (об'єднання проміжків $(-\infty ;-5)$ і $(5;+\infty )$).

4. Розглянемо г) $7-|x|<0\Rightarrow |x|>7$. Це рівносильна сукупності $\{\begin{array}{l}x>7\\ x<-7\end{array}$ (об'єднання).

Розв’язання

1. Система а): Підставимо $x=2$. Перша: $2-3=-1<5$ (правда). Друга: $4\cdot 2+2=10>9$ (правда). Обидві виконуються, отже число є розв'язком.

2. Система б): Підставимо $x=2$. Перша: $3\cdot 2=6\ge 2+2=4$ (правда). Друга: $12<8\cdot 2-5=16-5=11$ (правда). Обидві виконуються, отже число є розв'язком.

3. Система в): Підставимо $x=2$. Перша: $0,5\cdot 2=1\ge 2\cdot 2-3=4-3=1$ (правда). Друга: $3\cdot 2-1=5>4$ (правда). Обидві виконуються, отже число є розв'язком.

Розв’язання

1. Система а): Розв'язуємо $\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x>-7\end{array}$. Перетин — проміжок $(-7;3]$. З набору чисел до цього проміжку належать $-1,0,1,2,3$.

2. Система б): Розв'язуємо $\{\begin{array}{l}2x>2\Rightarrow x>1\\ x<1\end{array}$ (друга нерівність: $1-x<0\Rightarrow -x<-1\Rightarrow x>1$). Перетин множин $(1;+\infty )$ і $(1;+\infty )$ — це проміжок $(1;+\infty )$. З набору чисел до цього проміжку належать $2,3$.

Розв’язання

1. Пункт а): Розв'язуємо $2x+7\ge 0$, звідки $2x\ge -7$ або $x\ge -3,5$. Розв'язуємо $3x+6\ge 0$, звідки $3x\ge -6$ або $x\ge -2$. Перетин проміжків $[-3,5;+\infty )$ і $[-2;+\infty )$ — це $[-2;+\infty )$. Цілі числа: наприклад, $-1,0$.

2. Пункт б): Розв'язуємо $2x-5<0$, звідки $2x<5$ або $x<2,5$. Розв'язуємо $3x+9<0$, звідки $3x<-9$ або $x<-3$. Перетин проміжків $(-\infty ;2,5)$ і $(-\infty ;-3)$ — це $(-\infty ;-3)$. Цілі числа: наприклад, $-4,-5$.

3. Пункт в): Розв'язуємо $3x+1<0$, звідки $3x<-1$ або $x<-\frac{1}{3}$. Розв'язуємо $2x+5>0$, звідки $2x>-5$ або $x>-2,5$. Перетин проміжків $(-\infty ;-\frac{1}{3})$ і $(-2,5;+\infty )$ — це $(-2,5;-\frac{1}{3})$. Цілі числа: єдине ціле число в цьому проміжку — $-2$.