Завдання 322, § 6. Системи нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 322

Розв'язання нерівностей з коренями

а) $(x - 3) x - 2 \leq 0$ ; б) $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ ; в) $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ .

Розв’язання

а) ОДЗ: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ . Нерівність $(x - 3) x - 2 \leq 0$ виконується, якщо $x - 3 \leq 0$ (оскільки $x - 2 \geq 0$ ). Отже, $x \leq 3$ . Перетин умов: $2 \leq x \leq 3$ .
б) ОДЗ: $3 x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$ . Нерівність $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ виконується, якщо $2 x - 4 \geq 0$ , тобто $x \geq 2$ . Перетин з ОДЗ дає $x \geq 2$ .
в) ОДЗ: $x^{2} + 3 \geq 0$ — виконується для всіх дійсних $x$ . Нерівність $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ виконується, якщо $5 - 2 x \geq 0$ , тобто $x \leq 2, 5$ .

Відповідь:

а) $[2; 3]$ ; б) $[2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 2, 5]$

Розбір зрозумілий?

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною Завдання 322 с. 59

Розв'язання нерівностей з коренями

Умова

а) $(x - 3) x - 2 \leq 0$ ; б) $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ ; в) $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ .

Що треба знати

Для розв'язання нерівностей виду $A B \leq 0$ спочатку визначаємо область допустимих значень (ОДЗ): $B \geq 0$ . Оскільки $B$ завжди невід'ємне, знак виразу залежить від множника $A$ . Якщо $A = 0$ , нерівність виконується. Якщо $A < 0$ , то $B$ має бути додатним (що зазвичай так і є в ОДЗ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для кожного пункту спочатку запиши ОДЗ, потім розгляни випадки, коли дужковий множник дорівнює нулю або змінює знак.

Розв’язання крок за кроком

а) ОДЗ: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ . Нерівність $(x - 3) x - 2 \leq 0$ виконується, якщо $x - 3 \leq 0$ (оскільки $x - 2 \geq 0$ ). Отже, $x \leq 3$ . Перетин умов: $2 \leq x \leq 3$ .
б) ОДЗ: $3 x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$ . Нерівність $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ виконується, якщо $2 x - 4 \geq 0$ , тобто $x \geq 2$ . Перетин з ОДЗ дає $x \geq 2$ .
в) ОДЗ: $x^{2} + 3 \geq 0$ — виконується для всіх дійсних $x$ . Нерівність $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ виконується, якщо $5 - 2 x \geq 0$ , тобто $x \leq 2, 5$ .

Відповідь:

а) $[2; 3]$ ; б) $[2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 2, 5]$

Розбір зрозумілий?