Параметр у квадратному рівнянні з умовою на корені
Знайти кількість цілих значень параметра a, за яких корені x1 і x2 рівняння x2−4ax+4a2−25=0 задовольняють умову x1<1<x2.
Розв’язання
Запишемо умову розташування коренів через функцію f(x)=x2−4ax+4a2−25. Оскільки парабола відкрита вгору (k=1>0), то для того щоб x1<1<x2, має виконуватися f(1)<0.
Підставимо x=1 у вираз: 12−4a⋅1+4a2−25<0, що спрощується до 4a2−4a−24<0.
Поділимо нерівність на 4: a2−a−6<0. Розкладемо на множники: (a−3)(a+2)<0. Розв'язок цієї нерівності: −2<a<3.
Знайдемо цілі числа в проміжку (−2;3): це −1,0,1,2. Кількість таких чисел — 4.
Відповідь:
4
Розбір зрозумілий?
§ 6. Системи нерівностей з однією змінноюЗавдання 321с. 59
Параметр у квадратному рівнянні з умовою на корені
Умова
Знайти кількість цілих значень параметра a, за яких корені x1 і x2 рівняння x2−4ax+4a2−25=0 задовольняють умову x1<1<x2.
Що треба знати
Умова x1<1<x2 означає, що корені розташовані по різні боки від точки x=1. Це еквівалентно нерівності (1)2−4a(1)+4a2−25<0, оскільки коефіцієнт при x2 додатний. Також потрібно перевірити, щоб дискримінант був від'ємним (для існування дійсних коренів), але в даному випадку умова про розташування коренів вже гарантує їх існування, якщо виконується нерівність для точки 1.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Склади квадратний тричлен f(x)=x2−4ax+4a2−25. Заміни x на 1 і розв'яжи отриману нерівність відносно a. Знайди всі цілі числа в знайденому проміжку.
Розв’язання крок за кроком
Запишемо умову розташування коренів через функцію f(x)=x2−4ax+4a2−25. Оскільки парабола відкрита вгору (k=1>0), то для того щоб x1<1<x2, має виконуватися f(1)<0.
Підставимо x=1 у вираз: 12−4a⋅1+4a2−25<0, що спрощується до 4a2−4a−24<0.
Поділимо нерівність на 4: a2−a−6<0. Розкладемо на множники: (a−3)(a+2)<0. Розв'язок цієї нерівності: −2<a<3.
Знайдемо цілі числа в проміжку (−2;3): це −1,0,1,2. Кількість таких чисел — 4.
