Завдання 320, § 6. Системи нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 320

Кількість цілих значень параметра

Визначити кількість цілих значень параметра $a$ , за яких рівняння $(9 - a) x + 20 - 3 a - 2 a^{2} = 0$ має лише додатні корені.

Розв’язання

Визначимо коефіцієнт при $x$ : $A = 9 - a$ .
Випадок 1: $A \neq = 0$ , тобто $a \neq = 9$ . Рівняння лінійне, має один корінь $x = - \frac{20 - 3 a - 2 a ^{2}}{9 - a}$ .
Для того щоб корінь був додатним ( $x > 0$ ), чисельник і знаменник мають мати однаковий знак.
Розкладемо чисельник на множники: $- (2 a^{2} + 3 a - 20) = - (2 a - 5) (a + 4)$ .
Отже, $x = \frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a}$ .
Потрібно $\frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a} > 0$ . Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів. Корені чисельника: $2, 5$ і $- 4$ . Критична точка знаменника: $9$ .
Знаки змінюються в точках $- 4$ , $2, 5$ , $9$ . Перевіряючи знаки, отримуємо розв'язок $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Випадок 2: $A = 0$ , тобто $a = 9$ . Рівняння перетворюється на $0 x + 20 - 27 - 18 = 0 \Rightarrow - 25 = 0$ (суперечність). Розв'язків немає.
Об'єднаємо розв'язки: $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Знайдемо цілі значення $a$ в цьому проміжку:
Для $(- \infty; - 4)$ : $\dots, - 6, - 5$ . (2 числа).
Для $(2, 5; 9)$ : $3, 4, 5, 6, 7, 8$ . (6 чисел).

Відповідь:

Розбір зрозумілий?

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною Завдання 320 с. 59

Кількість цілих значень параметра

Умова

Що треба знати

Рівняння лінійне, якщо коефіцієнт при $x$ не дорівнює нулю. Якщо коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю, рівняння стає лінійним відносно $a$ або тотожністю/суперечністю. Додатний корінь існує лише для лінійного випадку.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розгляни два випадки: коли коефіцієнт при $x$ не дорівнює нулю (лінійне рівняння) та коли він дорівнює нулю. У першому випадку знайди корінь і встанови умову його додатності, у другому — перевіри, чи є розв'язок.

Розв’язання крок за кроком

Визначимо коефіцієнт при $x$ : $A = 9 - a$ .
Випадок 1: $A \neq = 0$ , тобто $a \neq = 9$ . Рівняння лінійне, має один корінь $x = - \frac{20 - 3 a - 2 a ^{2}}{9 - a}$ .
Для того щоб корінь був додатним ( $x > 0$ ), чисельник і знаменник мають мати однаковий знак.
Розкладемо чисельник на множники: $- (2 a^{2} + 3 a - 20) = - (2 a - 5) (a + 4)$ .
Отже, $x = \frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a}$ .
Потрібно $\frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a} > 0$ . Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів. Корені чисельника: $2, 5$ і $- 4$ . Критична точка знаменника: $9$ .
Знаки змінюються в точках $- 4$ , $2, 5$ , $9$ . Перевіряючи знаки, отримуємо розв'язок $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Випадок 2: $A = 0$ , тобто $a = 9$ . Рівняння перетворюється на $0 x + 20 - 27 - 18 = 0 \Rightarrow - 25 = 0$ (суперечність). Розв'язків немає.
Об'єднаємо розв'язки: $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Знайдемо цілі значення $a$ в цьому проміжку:
Для $(- \infty; - 4)$ : $\dots, - 6, - 5$ . (2 числа).
Для $(2, 5; 9)$ : $3, 4, 5, 6, 7, 8$ . (6 чисел).

Відповідь:

Розбір зрозумілий?