Завдання 318, § 6. Системи нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 318

Параметр і додатні корені

Знайти всі цілі значення параметра $a$ , при яких обидва корені рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ є додатними.

Розв’язання

Запишемо умови для додатності коренів рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ :
$Δ \geq 0$ , $x_{1} + x_{2} = 3 a + 5 > 0$ , $x_{1} x_{2} = 2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ .
Розглянемо умову на добуток коренів: $2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ . Ділимо на 2: $a^{2} + 4 a + 3 > 0$ . Корені цього тричлена $- 1$ і $- 3$ . Тричлен додатний при $a < - 3$ або $a > - 1$ .
Розглянемо умову на суму коренів: $3 a + 5 > 0 \Rightarrow a > - \frac{5}{3}$ . Оскільки $- \frac{5}{3} \approx - 1, 67$ , це сузить діапазон до $a > - 1, 67$ . Перетин з попередньою умовою дає $a > - 1$ .
Розглянемо дискримінант: $Δ = (3 a + 5)^{2} - 4 (2 a^{2} + 8 a + 6) = 9 a^{2} + 30 a + 25 - 8 a^{2} - 32 a - 24 = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, умова $Δ \geq 0$ виконується завжди.
Об'єднаємо умови: $a > - 1$ . Знайдемо цілі значення параметра $a$ , що задовольняють цю нерівність.

Відповідь:

$a \in {0, 1, 2, \dots}$

Розбір зрозумілий?

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною Завдання 318 с. 59

Параметр і додатні корені

Умова

Знайти всі цілі значення параметра $a$ , при яких обидва корені рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ є додатними.

Що треба знати

Для квадратного рівняння $A x^{2} + B x + C = 0$ з додатними коренями необхідно виконання трьох умов: дискримінант $Δ \geq 0$ , сума коренів $- \frac{B}{A} > 0$ та добуток коренів $\frac{C}{A} > 0$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайся формулою Вієта для суми і добутку коренів, а також розклади дискримінант на множники.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо умови для додатності коренів рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ :
$Δ \geq 0$ , $x_{1} + x_{2} = 3 a + 5 > 0$ , $x_{1} x_{2} = 2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ .
Розглянемо умову на добуток коренів: $2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ . Ділимо на 2: $a^{2} + 4 a + 3 > 0$ . Корені цього тричлена $- 1$ і $- 3$ . Тричлен додатний при $a < - 3$ або $a > - 1$ .
Розглянемо умову на суму коренів: $3 a + 5 > 0 \Rightarrow a > - \frac{5}{3}$ . Оскільки $- \frac{5}{3} \approx - 1, 67$ , це сузить діапазон до $a > - 1, 67$ . Перетин з попередньою умовою дає $a > - 1$ .
Розглянемо дискримінант: $Δ = (3 a + 5)^{2} - 4 (2 a^{2} + 8 a + 6) = 9 a^{2} + 30 a + 25 - 8 a^{2} - 32 a - 24 = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, умова $Δ \geq 0$ виконується завжди.
Об'єднаємо умови: $a > - 1$ . Знайдемо цілі значення параметра $a$ , що задовольняють цю нерівність.

Відповідь:

$a \in {0, 1, 2, \dots}$

Розбір зрозумілий?