Завдання 305, § 6. Системи нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 305

Нерівності з параметром n

а) $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ ;
б) $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{3 - n} < \frac{3}{( n - 4 ) ( 3 - n )}$ .

Розв’язання

а) Знайдемо спільний знаменник для лівої частини: $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} = \frac{( n - 1 ) - ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n - 1 )} = \frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ . Оскільки знаменники однакові, порівнюємо чисельники: $- 2 > 1$ — це хибна нерівність. Отже, розв'язків немає.
б) Спростимо ліву частину: $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{- ( n - 3 )} = \frac{3}{n - 4} - \frac{3}{n - 3} = \frac{3 ( n - 3 ) - 3 ( n - 4 )}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3 n - 9 - 3 n + 12}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )} < \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ . Це означає $3 < 3$ , що також є хибним твердженням.

Відповідь:

а) розв'язків немає; б) розв'язків немає.

Розбір зрозумілий?

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною Завдання 305 с. 58

Нерівності з параметром n

Умова

а) $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ ;
б) $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{3 - n} < \frac{3}{( n - 4 ) ( 3 - n )}$ .

Що треба знати

Для розв'язання потрібно привести до спільного знаменника або помножити нерівність на добуток знаменників, враховуючи знаки (якщо множимо на від'ємне число, знак нерівності змінюється). Також важливо визначити область значень змінної ( $n \neq = - 1, 1$ ; $n \neq = 4, 3$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй перетворити ліву частину кожної нерівності до спільного знаменника і порівняй її з правою частиною. Зверни увагу на умови існування дробів.

Розв’язання крок за кроком

а) Знайдемо спільний знаменник для лівої частини: $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} = \frac{( n - 1 ) - ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n - 1 )} = \frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ . Оскільки знаменники однакові, порівнюємо чисельники: $- 2 > 1$ — це хибна нерівність. Отже, розв'язків немає.
б) Спростимо ліву частину: $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{- ( n - 3 )} = \frac{3}{n - 4} - \frac{3}{n - 3} = \frac{3 ( n - 3 ) - 3 ( n - 4 )}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3 n - 9 - 3 n + 12}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )} < \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ . Це означає $3 < 3$ , що також є хибним твердженням.

Відповідь:

а) розв'язків немає; б) розв'язків немає.

Розбір зрозумілий?