Дано чотири нерівності: а) ∣x∣<3; б) ∣x∣−1<0,5; в) ∣x∣>5; г) 7−∣x∣<0. Потрібно визначити, яка з них рівносильна системі відповідних нерівностей (перетин множин), а яка — сукупності (об'єднанню множин).
Розв’язання
Розглянемо а) ∣x∣<3. Це рівносильно системі {x<3x>−3, тобто перетину проміжків (−3;3).
Розглянемо б) ∣x∣−1<0,5⇒∣x∣<1,5. Це рівносильно системі {x<1,5x>−1,5 (перетин).
Розглянемо в) ∣x∣>5. Це рівносильна сукупності {x>5x<−5 (об'єднання проміжків (−∞;−5) і (5;+∞)).
Розглянемо г) 7−∣x∣<0⇒∣x∣>7. Це рівносильна сукупності {x>7x<−7 (об'єднання).
Відповідь:
Рівносильна системі — а) та б); рівносильна сукупності — в) та г).
Розбір зрозумілий?
§ 6. Системи нерівностей з однією змінноюЗавдання 267с. 54
Рівносильність нерівностей та систем
Умова
Дано чотири нерівності: а) ∣x∣<3; б) ∣x∣−1<0,5; в) ∣x∣>5; г) 7−∣x∣<0. Потрібно визначити, яка з них рівносильна системі відповідних нерівностей (перетин множин), а яка — сукупності (об'єднанню множин).
Що треба знати
Нерівність виду ∣A∣<B (де B>0) рівносильна системі {A<BA>−B, тобто перетину двох проміжків. Нерівність виду ∣A∣>B (де B>0) рівносильна сукупності {A>BA<−B, тобто об'єднанню двох проміжків.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розглянь кожну нерівність окремо. Для а) та в) це нерівності з модулем більшим або меншим за число — вони розкладаються на систему чи сукупність. Для б) спрости вираз всередині модуля, щоб побачити структуру.
Розв’язання крок за кроком
Розглянемо а) ∣x∣<3. Це рівносильно системі {x<3x>−3, тобто перетину проміжків (−3;3).
Розглянемо б) ∣x∣−1<0,5⇒∣x∣<1,5. Це рівносильно системі {x<1,5x>−1,5 (перетин).
Розглянемо в) ∣x∣>5. Це рівносильна сукупності {x>5x<−5 (об'єднання проміжків (−∞;−5) і (5;+∞)).
Розглянемо г) 7−∣x∣<0⇒∣x∣>7. Це рівносильна сукупності {x>7x<−7 (об'єднання).
Відповідь:
Рівносильна системі — а) та б); рівносильна сукупності — в) та г).
