Завдання 258, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 258

Переріз та об'єднання проміжків

Записати співвідношення між числами $a$ , $x$ і $y$ у вигляді подвійної нерівності для випадків:
а) $(a; + \infty) \cap (x; y) = (a; y)$ ;
б) $(a; + \infty) \cup (x; y) = (a; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; a) \cup (x; y) = (- \infty; y)$ ;
г) $(- \infty; a) \cap (x; y) = (- \infty; a)$ .

Розв’язання

Для випадку а) проміжок $(a; y)$ є спільною частиною $(a; + \infty)$ та $(x; y)$ , отже $a < x$ і $y < + \infty$ , що дає $a < x < y$ .
Для випадку б) об'єднання дорівнює $(a; + \infty)$ , тому перший проміжок має охоплювати другий або бути більшим справа, тобто $x \leq a$ і $y > a$ .
Для випадку в) об'єднання дорівнює $(- \infty; y)$ , отже $a < x$ і $y > a$ , що дає $a < x < y$ .
Для випадку г) переріз дорівнює $(- \infty; a)$ , тому другий проміжок має бути більшим зліва, тобто $x \leq a$ і $y > a$ .

Відповідь:

а) $a < x < y$ ; б) $x \leq a < y$ ; в) $a < x < y$ ; г) $x \leq a < y$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 258 с. 49

Переріз та об'єднання проміжків

Умова

Що треба знати

Переріз проміжків $(a; + \infty)$ та $(x; y)$ дає проміжок $(a; y)$ , якщо $a < x < y$ . Об'єднання проміжків $(a; + \infty)$ та $(x; y)$ дає $(a; + \infty)$ , якщо $y > a$ і $x \leq a$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Порівняйте межі перших двох дужок у кожному пункті. Згадайте, що при об'єднанні береться більша межа зліва і менша справа, а при перерізі — більша межа зліва і менша справа.

Розв’язання крок за кроком

Для випадку а) проміжок $(a; y)$ є спільною частиною $(a; + \infty)$ та $(x; y)$ , отже $a < x$ і $y < + \infty$ , що дає $a < x < y$ .
Для випадку б) об'єднання дорівнює $(a; + \infty)$ , тому перший проміжок має охоплювати другий або бути більшим справа, тобто $x \leq a$ і $y > a$ .
Для випадку в) об'єднання дорівнює $(- \infty; y)$ , отже $a < x$ і $y > a$ , що дає $a < x < y$ .
Для випадку г) переріз дорівнює $(- \infty; a)$ , тому другий проміжок має бути більшим зліва, тобто $x \leq a$ і $y > a$ .

Відповідь:

а) $a < x < y$ ; б) $x \leq a < y$ ; в) $a < x < y$ ; г) $x \leq a < y$ .

Розбір зрозумілий?