Завдання 257, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 257

Порівняння чисел x і a, y і c за властивостями перерізу та об'єднання

а) $(a; c) \cap (x; y) = (a; c)$ ;
б) $(a; c) \cap (x; y) = (x; y)$ ;
в) $(a; c) \cup (x; y) = (a; c)$ ;
г) $(a; c) \cup (x; y) = (a; y)$ .

Розв’язання

Розглянемо пункт а). Оскільки $(a; c) \cap (x; y) = (a; c)$ , то $(a; c)$ є підмножиною $(x; y)$ . Це означає, що $x \leq a < c \leq y$ .
Розглянемо пункт б). Оскільки $(a; c) \cap (x; y) = (x; y)$ , то $(x; y)$ є підмножиною $(a; c)$ . Це означає, що $a \leq x < y \leq c$ .
Розглянемо пункт в). Оскільки $(a; c) \cup (x; y) = (a; c)$ , то $(x; y)$ є підмножиною $(a; c)$ . Це означає, що $a \leq x < y \leq c$ .
Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a; c) \cup (x; y) = (a; y)$ . Оскільки об'єднання збільшує множину, то $(a; y)$ має бути більшим за $(a; c)$ , отже $y > c$ . Також проміжок $(x; y)$ має "доповнити" $(a; c)$ до $(a; y)$ . Це можливо, якщо $x \leq a$ і $c < y$ . Тобто $(x; y) = (x; c) \cup (c; y)$ , але оскільки це один проміжок, то $x \leq a$ і $y > c$ .

Відповідь:

а) $x \leq a < c \leq y$ ; б) $a \leq x < y \leq c$ ; в) $a \leq x < y \leq c$ ; г) $x \leq a < c < y$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 257 с. 49

Порівняння чисел x і a, y і c за властивостями перерізу та об'єднання

Умова

а) $(a; c) \cap (x; y) = (a; c)$ ;
б) $(a; c) \cap (x; y) = (x; y)$ ;
в) $(a; c) \cup (x; y) = (a; c)$ ;
г) $(a; c) \cup (x; y) = (a; y)$ .

Що треба знати

Якщо переріз двох проміжків дорівнює одному з них, то цей проміжок є підмножиною іншого. Якщо об'єднання дорівнює одному з проміжків, то другий проміжок є його підмножиною.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Згадай означення підмножини. Для пункту а) $(a; c) \subset (x; y)$ . Для пункту в) $(x; y) \subset (a; c)$ .

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо пункт а). Оскільки $(a; c) \cap (x; y) = (a; c)$ , то $(a; c)$ є підмножиною $(x; y)$ . Це означає, що $x \leq a < c \leq y$ .
Розглянемо пункт б). Оскільки $(a; c) \cap (x; y) = (x; y)$ , то $(x; y)$ є підмножиною $(a; c)$ . Це означає, що $a \leq x < y \leq c$ .
Розглянемо пункт в). Оскільки $(a; c) \cup (x; y) = (a; c)$ , то $(x; y)$ є підмножиною $(a; c)$ . Це означає, що $a \leq x < y \leq c$ .
Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a; c) \cup (x; y) = (a; y)$ . Оскільки об'єднання збільшує множину, то $(a; y)$ має бути більшим за $(a; c)$ , отже $y > c$ . Також проміжок $(x; y)$ має "доповнити" $(a; c)$ до $(a; y)$ . Це можливо, якщо $x \leq a$ і $c < y$ . Тобто $(x; y) = (x; c) \cup (c; y)$ , але оскільки це один проміжок, то $x \leq a$ і $y > c$ .

Відповідь:

а) $x \leq a < c \leq y$ ; б) $a \leq x < y \leq c$ ; в) $a \leq x < y \leq c$ ; г) $x \leq a < c < y$ .

Розбір зрозумілий?