Завдання 255, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 255

Порівняння чисел a і c за властивостями множин

а) $(- \infty; a) \cup (c; + \infty) = R$ ;
б) $(a; x) \cap (x; c) = \emptyset$ ;
в) $(y; a) \cap (c; y) = \emptyset$ ;
г) $(a; + \infty) \cup (- \infty; c) = R$ .

Розв’язання

Розглянемо пункт а). Оскільки об'єднання дає $R$ , проміжки мають бути суміжними або перетинатися так, щоб не залишити дірки. Оскільки це відкриті проміжки, точка $a$ має бути більшою за точку $c$ , щоб вони "зашити" проміжок між собою: $(- \infty; a) \cup (c; + \infty) = R \Rightarrow a > c$ .
Розглянемо пункт б). Переріз $(a; x)$ і $(x; c)$ порожній, якщо ці проміжки не мають спільних точок. Це відбувається, коли правий кінець першого менший за лівий кінець другого: $x \leq a$ . Але оскільки проміжки відкриті, то $a < x$ . Отже, умова порожнечі виконується, якщо $a < x < c$ неможливо. Насправді, якщо $a < x$ , то перший проміжок закінчується до початку другого. Точніше: $(a; x) \cap (x; c) = \emptyset$ завжди вірно для будь-яких $a < x < c$ . Але якщо $x \leq a$ , то перший проміжок порожній або лежить ліворуч. Умова задачі — це рівність, а не нерівність. Переріз двох непорожніх відкритих проміжків порожній, якщо вони розділені точкою $x$ . Тобто $a < x < c$ дає порожній переріз? Ні, $(a; x) \cap (x; c) = \emptyset$ вірно завжди, якщо $a < x < c$ . Але якщо $x \leq a$ , то $(a; x) = \emptyset$ . Припустимо, що проміжки непорожні. Тоді $a < x < c$ .
Розглянемо пункт в). Переріз $(y; a)$ і $(c; y)$ порожній. Аналогічно до пункту б), це можливо, якщо $c \leq y < a$ . Якщо проміжки непорожні, то $c < y < a$ .
Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a; + \infty)$ і $(- \infty; c)$ дає $R$ . Це можливо лише якщо ці проміжки перетинаються або є суміжними, але оскільки це відкриті проміжки, щоб отримати всю вісь без дірок, вони мають перетинатися. Тобто $c > a$ .

Відповідь:

а) $a > c$ ; б) $a < x < c$ (або $x \leq a$ , якщо дозволити порожній проміжок, але в контексті порівняння чисел зазвичай шукають умову перетину); в) $c < y < a$ ; г) $c > a$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 255 с. 49

Порівняння чисел a і c за властивостями множин

Умова

а) $(- \infty; a) \cup (c; + \infty) = R$ ;
б) $(a; x) \cap (x; c) = \emptyset$ ;
в) $(y; a) \cap (c; y) = \emptyset$ ;
г) $(a; + \infty) \cup (- \infty; c) = R$ .

Що треба знати

Об'єднання двох проміжків дає всю множину дійсних чисел $R$ , якщо вони разом покривають вісь координат без проміжку посередині. Переріз (спільна частина) двох відкритих проміжків порожній, якщо вони не перетинаються.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Згадай, що $R$ — це вся числова вісь. Умова а) означає, що проміжки $(- \infty; a)$ і $(c; + \infty)$ разом заповнюють всю вісь, тобто між ними немає місця.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо пункт а). Оскільки об'єднання дає $R$ , проміжки мають бути суміжними або перетинатися так, щоб не залишити дірки. Оскільки це відкриті проміжки, точка $a$ має бути більшою за точку $c$ , щоб вони "зашити" проміжок між собою: $(- \infty; a) \cup (c; + \infty) = R \Rightarrow a > c$ .
Розглянемо пункт б). Переріз $(a; x)$ і $(x; c)$ порожній, якщо ці проміжки не мають спільних точок. Це відбувається, коли правий кінець першого менший за лівий кінець другого: $x \leq a$ . Але оскільки проміжки відкриті, то $a < x$ . Отже, умова порожнечі виконується, якщо $a < x < c$ неможливо. Насправді, якщо $a < x$ , то перший проміжок закінчується до початку другого. Точніше: $(a; x) \cap (x; c) = \emptyset$ завжди вірно для будь-яких $a < x < c$ . Але якщо $x \leq a$ , то перший проміжок порожній або лежить ліворуч. Умова задачі — це рівність, а не нерівність. Переріз двох непорожніх відкритих проміжків порожній, якщо вони розділені точкою $x$ . Тобто $a < x < c$ дає порожній переріз? Ні, $(a; x) \cap (x; c) = \emptyset$ вірно завжди, якщо $a < x < c$ . Але якщо $x \leq a$ , то $(a; x) = \emptyset$ . Припустимо, що проміжки непорожні. Тоді $a < x < c$ .
Розглянемо пункт в). Переріз $(y; a)$ і $(c; y)$ порожній. Аналогічно до пункту б), це можливо, якщо $c \leq y < a$ . Якщо проміжки непорожні, то $c < y < a$ .
Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a; + \infty)$ і $(- \infty; c)$ дає $R$ . Це можливо лише якщо ці проміжки перетинаються або є суміжними, але оскільки це відкриті проміжки, щоб отримати всю вісь без дірок, вони мають перетинатися. Тобто $c > a$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?