Завдання 219, § 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 219

Розв'язування складних нерівностей з дробами та коренями

Розв'яжи нерівність:
а) $(\frac{1}{x} - x)^{2} > \frac{1}{x ^{2}} + x^{2}$ ;
б) $\frac{1}{2 + 1} - \frac{x}{2} > 2 + 3$ .

Розв’язання

а) Розкриємо квадрат: $\frac{1}{x ^{2}} - 2 + x^{2} > \frac{1}{x ^{2}} + x^{2}$ . Скоротимо однакові доданки з обох боків: $- 2 > 0$ . Це хибна нерівність, тому розв'язків немає.
б) Спростимо дріб: $\frac{1}{2 + 1} = \frac{2 - 1}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 2 - 1$ . Підставимо це значення: $(2 - 1) - \frac{x}{2} > 2 + 3$ . Віднімемо $2$ від обох частин: $- 1 - \frac{x}{2} > 3$ . Перенесемо $- 1$ вправо: $- \frac{x}{2} > 4$ . Помножимо на $- 2$ (знак змінюється): $x < - 8$ .

Відповідь:

а) розв'язків немає;
б) $x < - 8$ .

Розбір зрозумілий?

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною Завдання 219 с. 39

Розв'язування складних нерівностей з дробами та коренями

Умова

Розв'яжи нерівність:
а) $(\frac{1}{x} - x)^{2} > \frac{1}{x ^{2}} + x^{2}$ ;
б) $\frac{1}{2 + 1} - \frac{x}{2} > 2 + 3$ .

Що треба знати

Для розв'язання нерівності а) потрібно розкрити дужки та спростити вираз, звертаючи увагу на те, що $(\frac{1}{x} - x)^{2} = \frac{1}{x ^{2}} - 2 + x^{2}$ . Для нерівності б) потрібно спочатку раціоналізувати дріб або підставити значення $2$ , щоб отримати числову нерівність.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з пункту а). Розкрий квадрат суми різниці. Порівняй ліву та праву частини. Визнач знак величини $x$ , яка залишиться після спрощення. Для пункту б) обчисли значення дробу $\frac{1}{2 + 1}$ , помноживши чисельник і знаменник на спряжений доданок.

Розв’язання крок за кроком

а) Розкриємо квадрат: $\frac{1}{x ^{2}} - 2 + x^{2} > \frac{1}{x ^{2}} + x^{2}$ . Скоротимо однакові доданки з обох боків: $- 2 > 0$ . Це хибна нерівність, тому розв'язків немає.
б) Спростимо дріб: $\frac{1}{2 + 1} = \frac{2 - 1}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 2 - 1$ . Підставимо це значення: $(2 - 1) - \frac{x}{2} > 2 + 3$ . Віднімемо $2$ від обох частин: $- 1 - \frac{x}{2} > 3$ . Перенесемо $- 1$ вправо: $- \frac{x}{2} > 4$ . Помножимо на $- 2$ (знак змінюється): $x < - 8$ .

Відповідь:

а) розв'язків немає;
б) $x < - 8$ .

Розбір зрозумілий?