ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 39

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 211–222 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною

Завдання 211

Побудова нерівностей з різними розв'язками

а) $x^{2} - x > 0$ (не має розв'язку);
б) $x^{2} + 1 ⩾ 0$ (задовольняє кожне дійсне число);
в) $(x - 5)^{2} = 0$ (задовольняє тільки одне число 5);
г) $- 2 < x < 3$ (задовольняють усі числа з проміжку $(- 2; 3)$ ).

Розв’язання

Для пункту а) візьмемо квадрат будь-якого числа, додай 1 (отримаємо завжди додатне) і поставимо знак менше нуля: $x^{2} + 1 < 0$ .
Для пункту б) візьмемо квадрат числа або просто число 0 з знаком більше або дорівнює: $x^{2} ⩾ 0$ (або $x^{2} + 1 > 0$ ).
Для пункту в) використаємо властивість, що квадрат числа від'ємний не може бути, тому рівність $(x - 5)^{2} = 0$ має єдиний корінь 5.
Для пункту г) просто запишемо умову проміжку як нерівність: $- 2 < x < 3$ .

Відповідь:

а) $x^{2} + 1 < 0$ ; б) $x^{2} ⩾ 0$ (або будь-яке інше, що завжди вірне); в) $(x - 5)^{2} = 0$ ; г) $- 2 < x < 3$ .

Завдання 212

Знаходження параметра для наявності двох коренів

а) $x^{2} - 8 x + 2 a = 0$ ;
б) $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} - 3 = 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): $a = 1, b = - 8, c = 2 a$ . Дискримінант $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 a) = 64 - 8 a$ . Умова $D > 0$ дає $64 - 8 a > 0$ , звідки $8 a < 64$ , отже $a < 8$ .
Для пункту б): $a = 1, b = - (2 a + 1), c = a^{2} - 3$ . Дискримінант $D = (- (2 a + 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} - 3) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} + 12 = 4 a + 13$ . Умова $D > 0$ дає $4 a + 13 > 0$ , звідки $4 a > - 13$ , отже $a > - \frac{13}{4}$ .

Відповідь:

а) $a < 8$ ; б) $a > - 3, 25$ .

Завдання 213

Знаходження параметра для відсутності коренів

а) $2 x^{2} + 3 x - 6 a = 0$ ;
б) $x^{2} + (3 - 2 a) x + a^{2} - a = 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): $a = 2, b = 3, c = - 6 a$ . Дискримінант $D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6 a) = 9 + 48 a$ . Умова $D < 0$ дає $9 + 48 a < 0$ , звідки $48 a < - 9$ , отже $a < - \frac{3}{16}$ .
Для пункту б): $a = 1, b = 3 - 2 a, c = a^{2} - a$ . Дискримінант $D = (3 - 2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} - a) = 9 - 12 a + 4 a^{2} - 4 a^{2} + 4 a = 9 - 8 a$ . Умова $D < 0$ дає $9 - 8 a < 0$ , звідки $- 8 a < - 9$ , отже $a > \frac{9}{8}$ .

Відповідь:

а) $a < - 0, 1875$ ; б) $a > 1, 125$ .

Завдання 214

Знаходження параметра за умовою коренів

При яких значеннях параметра $a$ обидва корені рівняння додатні?
а) $x^{2} - (a + 2) x + 3 a - 3 = 0$ ;
б) $x^{2} - (a + 7) x + 5 a + 10 = 0$ .

Розв’язання

а) Для рівняння $x^{2} - (a + 2) x + 3 a - 3 = 0$ сума коренів $x_{1} + x_{2} = a + 2$ , добуток $x_{1} x_{2} = 3 a - 3$ . Умова додатності: $a + 2 > 0$ та $3 a - 3 > 0$ .
б) Для рівняння $x^{2} - (a + 7) x + 5 a + 10 = 0$ сума коренів $x_{1} + x_{2} = a + 7$ , добуток $x_{1} x_{2} = 5 a + 10$ . Умова додатності: $a + 7 > 0$ та $5 a + 10 > 0$ .

Відповідь:

а) $a > 1$ ; б) $a > - 2$ .

Завдання 215

Параметр за умовою коренів і їхнього значення

При яких значеннях параметра $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ не більші за 3?

Розв’язання

Функція $f (x) = x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6$ . Вершина параболи має абсцису $x_{v} = \frac{a - 1}{2}$ . Умова, що обидва корені $\leq 3$ , виконується, якщо $D \geq 0$ , $f (3) \geq 0$ і вершина лежить ліворуч від 3 ( $\frac{a - 1}{2} \leq 3$ ).
Знайдемо умови: $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2} \geq 0$ (виконується завжди).
$f (3) = 9 - 3 (a - 1) + 2 a - 6 = 9 - 3 a + 3 + 2 a - 6 = 6 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 6$ .
Вершина: $\frac{a - 1}{2} \leq 3 \Rightarrow a - 1 \leq 6 \Rightarrow a \leq 7$ .
Перетин умов $a \leq 6$ та $a \leq 7$ дає $a \leq 6$ .

Відповідь:

$a \leq 6$ .

Завдання 216

Сума цілих значень параметра за умовою розташування коренів

Визнач суму всіх цілих значень параметра $a$ , за яких один корінь рівняння $2 x^{2} - (4 a + 9) x + 6 a + 9 = 0$ належить проміжку $(- 8; 0)$ , а другий — проміжку $(1; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (x) = 2 x^{2} - (4 a + 9) x + 6 a + 9$ .
Умова $f (- 8) < 0$ : $2 (- 8)^{2} - (4 a + 9) (- 8) + 6 a + 9 < 0 \Rightarrow 128 + 32 a + 72 + 6 a + 9 < 0 \Rightarrow 38 a + 209 < 0 \Rightarrow a < - \frac{209}{38} \approx - 5.5$ .
Умова $f (0) < 0$ : $6 a + 9 < 0 \Rightarrow a < - 1.5$ .
Умова $f (1) < 0$ : $2 - (4 a + 9) + 6 a + 9 < 0 \Rightarrow 2 a + 2 < 0 \Rightarrow a < - 1$ .
Умова $f (5) < 0$ : $2 (25) - (4 a + 9) (5) + 6 a + 9 < 0 \Rightarrow 50 - 20 a - 45 + 6 a + 9 < 0 \Rightarrow - 14 a + 14 < 0 \Rightarrow a > 1$ .
Перевірка: Умова $a < - 5.5$ і $a > 1$ не мають спільних розв'язків. Отже, таких значень параметра немає.

Відповідь:

Сума не визначена (таких значень немає).

Завдання 217

Розв'язування лінійних нерівностей з параметром

Для кожного значення параметра $a$ розв'яжи нерівність:
а) $a x > 5$ ;
б) $(a - 3) x \leq (a^{2} - 9)$ ;
в) $(2 a - 1) x < 4 a^{2} - 4 a + 1$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x$ — це $a$ . Якщо $a > 0$ , ділимо на $a$ : $x > \frac{5}{a}$ . Якщо $a < 0$ , знак змінюється: $x < \frac{5}{a}$ . Якщо $a = 0$ , отримуємо $0 > 5$ (хибно, розв'язків немає).
б) Спростимо праву частину: $(a - 3) x \leq (a - 3) (a + 3)$ . Коефіцієнт при $x$ — це $(a - 3)$ . Якщо $a > 3$ , ділимо на додатне число, знак не змінюємо. Якщо $a < 3$ , ділимо на від'ємне, знак змінюється ( $\geq$ ). Якщо $a = 3$ , отримуємо $0 \leq 0$ (вірно для будь-якого $x$ ).
в) Спростимо праву частину: $(2 a - 1) x < (2 a - 1)^{2}$ . Коефіцієнт при $x$ — це $(2 a - 1)$ . Якщо $2 a - 1 > 0$ ( $a > 0, 5$ ), ділимо без зміни знака. Якщо $2 a - 1 < 0$ ( $a < 0, 5$ ), знак змінюється на $\geq$ . Якщо $2 a - 1 = 0$ ( $a = 0, 5$ ), отримуємо $0 < 0, 25$ (хибно).

Відповідь:

а) $x > \frac{5}{a}$ при $a > 0$ ; $x < \frac{5}{a}$ при $a < 0$ ; розв'язків немає при $a = 0$ .
б) $x \leq a + 3$ при $a > 3$ ; $x \geq a + 3$ при $a < 3$ ; будь-яке дійсне число $x$ при $a = 3$ .
в) $x < 2 a - 1$ при $a > 0, 5$ ; $x \geq 2 a - 1$ при $a < 0, 5$ ; розв'язків немає при $a = 0, 5$ .

Завдання 218

Розв'язування лінійних нерівностей з параметром (продовження)

Для кожного значення параметра $a$ розв'яжи нерівність:
а) $a x < 6$ ;
б) $(a + 2) x > (a^{2} - 4)$ ;
в) $(2 a - 3) x \leq 4 a^{2} - 12 a + 9$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x$ — це $a$ . Якщо $a > 0$ , то $x < \frac{6}{a}$ . Якщо $a < 0$ , знак змінюється на $\leq$ : $x \geq \frac{6}{a}$ . Якщо $a = 0$ , $0 < 6$ (вірно для будь-якого $x$ ).
б) Спростимо: $(a + 2) x > (a - 2) (a + 2)$ . Коефіцієнт при $x$ — це $(a + 2)$ . Якщо $a > - 2$ , ділимо без зміни знака. Якщо $a < - 2$ , знак змінюється ( $\leq$ ). Якщо $a = - 2$ , $0 > 0$ (хибно).
в) Спростимо: $(2 a - 3) x \leq (2 a - 3)^{2}$ . Коефіцієнт при $x$ — це $(2 a - 3)$ . Якщо $2 a - 3 > 0$ ( $a > 1, 5$ ), ділимо без зміни знака. Якщо $2 a - 3 < 0$ ( $a < 1, 5$ ), знак змінюється на $\geq$ . Якщо $2 a - 3 = 0$ ( $a = 1, 5$ ), $0 \leq 0$ (вірно для будь-якого $x$ ).

Відповідь:

а) $x < \frac{6}{a}$ при $a > 0$ ; $x \geq \frac{6}{a}$ при $a < 0$ ; будь-яке дійсне число $x$ при $a = 0$ .
б) $x > a - 2$ при $a > - 2$ ; $x \leq a - 2$ при $a < - 2$ ; розв'язків немає при $a = - 2$ .
в) $x \leq 2 a - 3$ при $a > 1, 5$ ; $x \geq 2 a - 3$ при $a < 1, 5$ ; будь-яке дійсне число $x$ при $a = 1, 5$ .

Завдання 219

Розв'язування складних нерівностей з дробами та коренями

Розв'яжи нерівність:
а) $(\frac{1}{x} - x)^{2} > \frac{1}{x ^{2}} + x^{2}$ ;
б) $\frac{1}{2 + 1} - \frac{x}{2} > 2 + 3$ .

Розв’язання

а) Розкриємо квадрат: $\frac{1}{x ^{2}} - 2 + x^{2} > \frac{1}{x ^{2}} + x^{2}$ . Скоротимо однакові доданки з обох боків: $- 2 > 0$ . Це хибна нерівність, тому розв'язків немає.
б) Спростимо дріб: $\frac{1}{2 + 1} = \frac{2 - 1}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 2 - 1$ . Підставимо це значення: $(2 - 1) - \frac{x}{2} > 2 + 3$ . Віднімемо $2$ від обох частин: $- 1 - \frac{x}{2} > 3$ . Перенесемо $- 1$ вправо: $- \frac{x}{2} > 4$ . Помножимо на $- 2$ (знак змінюється): $x < - 8$ .

Відповідь:

а) розв'язків немає;
б) $x < - 8$ .

Завдання 220

Час у дорозі за течією

Туристи мають повернутися на базу не пізніше, ніж через 3 год. Власна швидкість човна $10 км / год$ , швидкість течії — $2 км / год$ . Знайти найбільшу відстань до бази.

Розв’язання

Знайдемо швидкість човна за течією: $v_{за} = 10 + 2 = 12 км / год$ .
Швидкість проти течії (повернення): $v_{проти} = 10 - 2 = 8 км / год$ .
Запишемо нерівність для часу: $\frac{s}{12} + \frac{s}{8} ⩽ 3$ .
Розв'яжемо нерівність: спільний знаменник 24, отже $\frac{2 s}{24} + \frac{3 s}{24} ⩽ 3$ , що дає $5 s ⩽ 72$ .
Знаходимо $s$ : $s ⩽ 14, 4$ .

Відповідь:

Найбільша відстань — $14, 4 км$ .

Завдання 221

Обчислення ступенів числа 10

Виконати арифметичні дії з числами у науковому записі: а) $8 \cdot 1 0^{5} + 4 \cdot 1 0^{5}$ ; б) $5 \cdot 1 0^{- 8} - 8 \cdot 1 0^{- 7}$ ; в) $(3, 7 \cdot 1 0^{5}) \cdot 2, 4 \cdot 1 0^{8}$ ; г) $(3, 6 \cdot 1 0^{6}) : (2, 4 \cdot 1 0^{3})$ .

Розв’язання

а) Спільний множник $1 0^{5}$ : $(8 + 4) \cdot 1 0^{5} = 12 \cdot 1 0^{5} = 1, 2 \cdot 1 0^{6}$ .
б) Приведемо до спільного показника: $5 \cdot 1 0^{- 8} - 80 \cdot 1 0^{- 8} = (5 - 80) \cdot 1 0^{- 8} = - 75 \cdot 1 0^{- 8} = - 7, 5 \cdot 1 0^{- 6}$ .
в) Множення: $3, 7 \cdot 2, 4 \cdot 1 0^{5 + 8} = 8, 88 \cdot 1 0^{13}$ .
г) Ділення: $\frac{3 , 6}{2 , 4} \cdot 1 0^{6 - 3} = 1, 5 \cdot 1 0^{3} = 1500$ .

Відповідь:

а) $1, 2 \cdot 1 0^{6}$ ; б) $- 7, 5 \cdot 1 0^{- 6}$ ; в) $8, 88 \cdot 1 0^{13}$ ; г) $1500$ .

Завдання 222

Побудова графіків рівнянь

Побудувати графіки рівнянь: а) $x y + 6 = 0$ ; б) $y^{2} - x = 0$ .

Розв’язання

а) Рівняння $x y = - 6$ . Точки: $(1; - 6), (- 1; 6), (2; - 3), (- 2; 3), (3; - 2), (- 3; 2)$ . Графік — гіпербола з гілками у II та IV координатних чвертях.
б) Рівняння $x = y^{2}$ . Точки: $(0; 0), (1; 1), (1; - 1), (4; 2), (4; - 2)$ . Графік — парабола, розкрита вправо з вершиною в точці $(0; 0)$ .

Відповідь:

а) Гіпербола у II і IV координатних чвертях. б) Парабола з вершиною в початку координат, розкрита вправо.