ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 38

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 195–210 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною

Завдання 195

Розв'язання нерівностей з дробами

а) $\frac{3 x}{2} - \frac{4 x}{3} > 2$ ;
б) $\frac{3 - y}{4} - \frac{y + 2}{5} \geq 2$ ;
в) $\frac{5 z - 18}{10} - \frac{27 - 10 z}{14} > \frac{3 z - 12}{5} - \frac{9 - 4 z}{7}$ .

Розв’язання

а) НСК(2; 3) = 6. Помножимо нерівність на 6: $3 \cdot 3 x - 4 \cdot 4 x > 2 \cdot 6$ . Отримаємо $9 x - 16 x > 12$ , звідки $- 7 x > 12$ , отже $x < - \frac{12}{7}$ .
б) НСК(4; 5) = 20. Помножимо нерівність на 20: $5 (3 - y) - 4 (y + 2) \geq 2 \cdot 20$ . Розкриємо дужки: $15 - 5 y - 4 y - 8 \geq 40$ , тобто $- 9 y + 7 \geq 40$ . Перенесемо змінну вліво, а число вправо: $- 9 y \geq 33$ , звідки $y \leq - \frac{11}{3}$ .
в) Знайдемо НСК знаменників (10; 14; 5; 7). Оскільки $10 = 2 \cdot 5$ і $14 = 2 \cdot 7$ , то НСК = $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$ . Помножимо нерівність на 70: $7 (5 z - 18) - 5 (27 - 10 z) > 14 (3 z - 12) - 10 (9 - 4 z)$ . Розкриємо дужки: $35 z - 126 - 135 + 50 z > 42 z - 168 - 90 + 40 z$ . Згрупуємо змінні та числа: $85 z - 261 > 82 z - 258$ . Перенесемо $82 z$ вліво, а $- 261$ вправо: $3 z > 3$ , звідки $z > 1$ .

Відповідь:

а) $x < - \frac{12}{7}$ ; б) $y \leq - \frac{11}{3}$ ; в) $z > 1$ .

Завдання 196

Розв'язання нерівності з дробом (НМТ)

Розв'яжи нерівність $\frac{x}{3} < \frac{x}{2} + 3$ .

Розв’язання

Множимо обидві частини на 6: $2 x < 3 x + 18$ .
Переносимо $3 x$ вліво, а число вправо: $2 x - 3 x < 18$ , тобто $- x < 18$ .
Ділимо на $- 1$ і змінюємо знак нерівності на протилежний: $x > - 18$ .

Відповідь:

$(- 18; + \infty)$ .

Завдання 197

Розв'язання квадратних нерівностей

а) $(x - 2) (x - 3) > x^{2}$ ;
б) $(2 x - 1) (3 x + 5) \leq 6 x^{2} - 19$ ;
в) $(3 x - 1)^{2} \leq 9 x (x - 2)$ ;
г) $(3 x - 2)^{2} \geq (3 x + 2)^{2} - 48$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 5 x + 6 > x^{2}$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 5 x + 6 > 0$ , звідки $- 5 x > - 6$ , тобто $x < \frac{6}{5}$ .
б) Розкриваємо дужки: $6 x^{2} + 10 x - 3 x - 5 \leq 6 x^{2} - 19$ . Скорочуємо $6 x^{2}$ : $7 x - 5 \leq - 19$ . Переносимо число вліво: $7 x \leq - 14$ , звідки $x \leq - 2$ .
в) Розкриваємо дужки: $9 x^{2} - 6 x + 1 \leq 9 x^{2} - 18 x$ . Скорочуємо $9 x^{2}$ : $- 6 x + 1 \leq - 18 x$ . Переносимо змінні вліво: $12 x \leq - 1$ , звідки $x \leq - \frac{1}{12}$ .
г) Розкриваємо дужки: $9 x^{2} - 12 x + 4 \geq 9 x^{2} + 12 x + 4 - 48$ . Скорочуємо $9 x^{2}$ і $4$ : $- 12 x \geq 12 x - 44$ . Переносимо змінні вліво: $- 24 x \geq - 44$ , звідки $x \leq \frac{44}{24}$ , що спрощується до $x \leq \frac{11}{6}$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; \frac{6}{5})$ ; б) $(- \infty; - 2]$ ; в) $(- \infty; - \frac{1}{12}]$ ; г) $(- \infty; \frac{11}{6}]$ .

Завдання 198

Розв'язування нерівностей з квадратними виразами

а) $(x + 5) (x - 7) < x^{2}$ ;
б) $(3 x - 2) (3 + 2 x) \geq 6 x^{2} + 4$ ;
в) $(y + 3)^{2} \geq y (y + 5)$ ;
г) $(z - 2)^{2} < (z - 3) (z + 5) + 1$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 2 x - 35 < x^{2}$ . Віднімаємо $x^{2}$ від обох частин: $- 2 x - 35 < 0$ . Додаємо 35: $- 2 x < 35$ . Ділимо на -2 і змінюємо знак: $x > - 17, 5$ .
б) Розкриваємо дужки: $6 x^{2} + 9 x - 6 \geq 6 x^{2} + 4$ . Віднімаємо $6 x^{2}$ і переносимо число 4: $9 x \geq 10$ . Ділимо на 9: $x \geq \frac{10}{9}$ .
в) Розкриваємо дужки: $y^{2} + 6 y + 9 \geq y^{2} + 5 y$ . Віднімаємо $y^{2}$ і переносимо $5 y$ : $y \geq - 9$ .
г) Розкриваємо дужки: $z^{2} - 4 z + 4 < (z^{2} + 2 z - 15) + 1$ . Спрощуємо: $z^{2} - 4 z + 4 < z^{2} + 2 z - 14$ . Віднімаємо $z^{2}$ і переносимо змінну: $- 6 z < - 18$ . Ділимо на -6 і змінюємо знак: $z > 3$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 17, 5; + \infty)$ ; б) $x \in [\frac{10}{9}; + \infty)$ ; в) $y \in [- 9; + \infty)$ ; г) $z \in (3; + \infty)$ .

Завдання 199

Розв'язування складених нерівностей з дужками

а) $(2 x - 3) (5 x + 2) - (3 x - 1) (4 x + 2) > 2 (1 - x) (1 + x) - x$ ;
б) $(4 x + 1) (3 x - 5) + (2 x + 3) (5 x - 4) < 2 x^{2} + 5 (2 x - 1)^{2}$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $(10 x^{2} + 4 x - 15 x - 6) - (12 x^{2} + 6 x - 4 x - 2) > (2 - x^{2}) - x$ . Спрощуємо: $10 x^{2} - 11 x - 6 - 12 x^{2} + 2 x + 2 > 2 - x^{2} - x$ . Отримуємо $- 2 x^{2} - 9 x - 4 > 2 - x^{2} - x$ . Переносимо все вліво: $- x^{2} - 8 x - 6 > 0$ . Множимо на -1 і змінюємо знак: $x^{2} + 8 x + 6 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} + 8 x + 6 = 0$ : $D = 56$ , $x_{1} = \frac{- 4 - 14}{1}$ , $x_{2} = \frac{- 4 + 14}{1}$ . Оскільки знак «менше», розв'язок між коренями: $x \in (\frac{- 8 - 56}{2}; \frac{- 8 + 56}{2})$ , тобто $(- 4 - 14; - 4 + 14)$ .
б) Розкриваємо дужки: $(12 x^{2} - 20 x + 3 x - 5) + (10 x^{2} - 8 x + 15 x - 12) < 2 x^{2} + 5 (4 x^{2} - 4 x + 1)$ . Спрощуємо: $12 x^{2} - 17 x - 5 + 10 x^{2} + 7 x - 12 < 2 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 5$ . Отримуємо $22 x^{2} - 10 x - 17 < 22 x^{2} - 20 x + 5$ . Віднімаємо $22 x^{2}$ і переносямо: $10 x < 22$ . Ділимо на 10: $x < 2, 2$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 4 - 14; - 4 + 14)$ ; б) $x \in (- \infty; 2, 2)$ .

Завдання 200

Розв'язування нерівностей з квадратами та добутками

а) $(3 x - 2) (3 x + 2) - (2 x - 3)^{2} \leq 5 x (x + 7) + 10$ ;
б) $(3 x + 1)^{2} - (2 x - 3) (3 - 2 x) \geq (2 x + 1)^{2} + (3 x - 7) (3 x + 7)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $(9 x^{2} - 4) - (4 x^{2} - 12 x + 9) \leq 5 x^{2} + 35 x + 10$ . Спрощуємо ліву частину: $5 x^{2} + 12 x - 13 \leq 5 x^{2} + 35 x + 10$ . Віднімаємо $5 x^{2}$ і переносямо: $- 23 x \leq 23$ . Ділимо на -23 і змінюємо знак: $x \geq - 1$ .
б) Розкриваємо дужки: $(9 x^{2} + 6 x + 1) - (- (4 x^{2} - 6 x)) \geq (4 x^{2} + 4 x + 1) + (9 x^{2} - 49)$ . Спрощуємо ліву частину: $9 x^{2} + 6 x + 1 + 4 x^{2} - 6 x = 13 x^{2} + 1$ . Праву частину: $13 x^{2} + 4 x - 48$ . Отримуємо $13 x^{2} + 1 \geq 13 x^{2} + 4 x - 48$ . Віднімаємо $13 x^{2}$ і переносямо: $- 4 x \leq - 49$ . Ділимо на -4 і змінюємо знак: $x \geq \frac{49}{4} = 12, 25$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 1; + \infty)$ ; б) $x \in [12, 25; + \infty)$ .

Завдання 201

Нерівність за графіком

На малюнку 4.7 зображено графіки функцій $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ . Потрібно знайти множину розв'язків нерівності $x < 4 - \frac{x}{2}$ .

Розв’язання

За графіком бачимо, що лінії $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ перетинаються в точці з абсцисою $x = 4$ .
При $x < 4$ (наприклад, $x = 0$ ) графік $x$ знаходиться вище прямої, а при $x > 4$ — нижче.
Отже, нерівність виконується для всіх $x$ , де графік кореня нижчий за графік прямої, тобто при $x > 4$ . Також враховуємо область визначення $x$ ( $x \geq 0$ ).

Відповідь:

$(4; + \infty)$

Завдання 202

Графічне розв'язання нерівностей

Розв'язати графічно три нерівності, використовуючи малюнок 4.7 (графіки $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ ):
а) $x > \frac{8}{x}$ ;
б) $x \geq x^{2}$ ;
в) $x < x - 2$ .

Розв’язання

а) Перевіримо точки перетину або підставимо числа. При $x = 4$ : $4 = 2$ , $\frac{8}{4} = 2$ . Точки збігаються. При $x > 4$ (напр. 9): $9 = 3$ , $\frac{8}{9} \approx 0, 9$ . Отже, при $x > 4$ виконується.
б) Графіки перетинаються в точках $(0; 0)$ та $(1; 1)$ . Між цими точками ( $0 < x < 1$ ) графік $x$ вищий за $x^{2}$ .
в) Функція $y = x - 2$ — це пряма лінія. Графік $y = x$ завжди вищий за цю пряму на проміжку, де вона має зміст і перетинається з коренем (вони не перетинаються в межах розглядуваних значень для цього завдання, але умову треба перевірити). Однак, оскільки графіки $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ дані, а пряма $y = x - 2$ не зображена, це завдання вимагає побудови додаткової прямої. Але за умовою «графічно» — ми шукаємо перетин $x$ та $x - 2$ . Корені рівняння $x = x - 2$ : $x = 0$ (не підходить, бо $0 = 0 \neq = - 2$ ), $x = 9$ ( $9 = 3$ , $9 - 2 = 7$ , не збігається). Тут є помилка в моїй швидкій оцінці. Перевіримо: $x = x - 2$ . Піднесемо до квадрату: $x = (x - 2)^{2} \Rightarrow x = x^{2} - 4 x + 4 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ . Корені $x = 1$ та $x = 4$ . Перевірка: при $x = 1$ : $1 = 1$ , $1 - 2 = - 1$ (не рівність). При $x = 4$ : $4 = 2$ , $4 - 2 = 2$ (рівність). Отже, єдиний корінь $x = 4$ . Для $x < 4$ графік $x$ вищий за $x - 2$ .

Відповідь:

а) $(4; + \infty)$ ; б) $(0; 1]$ ; в) $[0; 4)$

Завдання 203

Подвійні нерівності

Розв'язати подвійні нерівності:
а) $- 3 \leq 5 x - 1 \leq 4$ ;
б) $- 5 \leq 3 - 2 x < 1$ ;
в) $- 3, 4 \leq 5 + 2 x \leq 1, 8$ .

Розв’язання

а) Додамо 1 до всіх частин: $- 2 \leq 5 x \leq 5$ . Поділимо на 5: $- 0, 4 \leq x \leq 1$ .
б) Віднімемо 3 від усіх частин: $- 8 \leq - 2 x < - 2$ . Поділимо на $- 2$ (знаки нерівностей змінюються): $4 \geq x > 1$ , тобто $1 < x \leq 4$ .
в) Віднімемо 5 від усіх частин: $- 8, 4 \leq 2 x \leq - 3, 2$ . Поділимо на 2: $- 4, 2 \leq x \leq - 1, 6$ .

Відповідь:

а) $[- 0, 4; 1]$ ; б) $(1; 4]$ ; в) $[- 4, 2; - 1, 6]$

Завдання 204

Подвійна нерівність з параметром

а) $1 < 3 x + 4 < 7$ ;
б) $0, 7 < 3 x + 1 < 1, 3$ ;
в) $- 8 < 7 - 5 x < - 3$ .

Розв’язання

Для пункту а): Відніми 4 від усіх трьох частин ( $1 - 4$ , $3 x + 4 - 4$ , $7 - 4$ ), отримаємо $- 3 < 3 x < 3$ . Поділи всі частини на 3, щоб знайти $x$ : $- 1 < x < 1$ .
Для пункту б): Відніми 1 від усіх трьох частин ( $0, 7 - 1$ , $3 x + 1 - 1$ , $1, 3 - 1$ ), отримаємо $- 0, 3 < 3 x < 0, 3$ . Поділи всі частини на 3: $- 0, 1 < x < 0, 1$ .
Для пункту в): Спочатку перенесемо число 7 у ліву частину (віднімаємо від усіх трьох), отримаємо $- 15 < - 5 x < - 10$ . Тепер поділимо всі частини на $- 5$ , не забуваючи змінити знаки нерівності на протилежні: $3 > x > 2$ , що записується як $2 < x < 3$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 1; 1)$ ; б) $x \in (- 0, 1; 0, 1)$ ; в) $x \in (2; 3)$ .

Завдання 205

Подвійна нерівність з цілим розв'язком

а) $2 < 3 x - 5 < 7$ ;
б) $- 3 \leq 4 - 2 x \leq 3$ .

Розв’язання

Для пункту а): Додамо 5 до всіх частин ( $2 + 5$ , $3 x - 5 + 5$ , $7 + 5$ ), отримаємо $7 < 3 x < 12$ . Поділимо на 3: $\frac{7}{3} < x < 4$ . Оскільки $\frac{7}{3} \approx 2, 33$ , то цілі числа в цьому проміжку: 3 і 4.
Для пункту б): Віднімемо 4 від усіх частин ( $- 3 - 4$ , $4 - 2 x - 4$ , $3 - 4$ ), отримаємо $- 7 \leq - 2 x \leq - 1$ . Поділимо на $- 2$ і змінимо знаки: $3, 5 \geq x \geq 0, 5$ , що записується як $0, 5 \leq x \leq 3, 5$ . Цілі числа в цьому проміжку: 1, 2, 3.

Відповідь:

а) Найбільший цілий розв'язок — 4; б) Найбільший цілий розв'язок — 3.

Завдання 206

Подвійна нерівність з дробовими числами

а) $- 2 \leq 1 + 3 x \leq 4$ ;
б) $- 0, 3 < 2, 7 - x < 1, 7$ .

Розв’язання

Для пункту а): Віднімемо 1 від усіх трьох частин ( $- 2 - 1$ , $1 + 3 x - 1$ , $4 - 1$ ), отримаємо $- 3 \leq 3 x \leq 3$ . Поділимо на 3: $- 1 \leq x \leq 1$ .
Для пункту б): Віднімемо 2,7 від усіх частин ( $- 0, 3 - 2, 7$ , $2, 7 - x - 2, 7$ , $1, 7 - 2, 7$ ), отримаємо $- 3 < - x < - 1$ . Поділимо на $- 1$ і змінимо знаки: $3 > x > 1$ , що записується як $1 < x < 3$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 1; 1]$ ; б) $x \in (1; 3)$ .

Завдання 207

Подвійна нерівність з від'ємним коефіцієнтом

Знайти розв'язок нерівності $- 4 < 6 - 2 x < 2$ .

Розв’язання

Віднімемо 6 від усіх частин нерівності: $- 4 - 6 < - 2 x < 2 - 6$ , отже $- 10 < - 2 x < - 4$ .
Поділимо всі частини на $- 2$ і змінимо знаки нерівностей на протилежні: $5 > x > 2$ .
Запишемо розв'язок у стандартному вигляді: $2 < x < 5$ .

Відповідь:

$(2; 5)$

Завдання 208

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣ x ∣ < 5$ ; б) $∣ x - 3∣ \leq 7$ ; в) $∣2 x - 3∣ < 1$ .

Розв’язання

а) Запишемо $- 5 < x < 5$ . Відповідь: $(- 5; 5)$ .
б) Розкриємо модуль: $- 7 \leq x - 3 \leq 7$ . Додамо 3 до всіх частин: $- 4 \leq x \leq 10$ . Відповідь: $[- 4; 10]$ .
в) Розкриємо модуль: $- 1 < 2 x - 3 < 1$ . Додамо 3 до всіх частин: $2 < 2 x < 4$ . Поділимо на 2: $1 < x < 2$ . Відповідь: $(1; 2)$ .

Відповідь:

а) $(- 5; 5)$ ; б) $[- 4; 10]$ ; в) $(1; 2)$

Завдання 209

Розв'язування нерівностей з модулем (продовження)

а) $∣ x ∣ \leq 1$ ; б) $∣ x + 7∣ < 3$ ; в) $∣5 x - 3∣ \leq 2$ .

Розв’язання

а) $- 1 \leq x \leq 1$ . Відповідь: $[- 1; 1]$ .
б) Розкриємо модуль: $- 3 < x + 7 < 3$ . Віднімемо 7 від усіх частин: $- 10 < x < - 4$ . Відповідь: $(- 10; - 4)$ .
в) Розкриємо модуль: $- 2 \leq 5 x - 3 \leq 2$ . Додамо 3 до всіх частин: $- 5 \leq 5 x \leq 5$ . Поділимо на 5: $- 1 \leq x \leq 1$ . Відповідь: $[- 1; 1]$ .

Відповідь:

а) $[- 1; 1]$ ; б) $(- 10; - 4)$ ; в) $[- 1; 1]$

Завдання 210

Нерівність з модулем

Розв'яжи нерівність $∣ x - 9∣ \leq 3$ . У відповіді запиши суму всіх її цілих розв'язків на проміжку $[- 15; 15]$ .

Розв’язання

Запишемо нерівність без модуля як подвійну: $- 3 \leq x - 9 \leq 3$ .
Додамо 9 до всіх частин нерівності, щоб ізольувати $x$ : $- 3 + 9 \leq x \leq 3 + 9$ , отже, $6 \leq x \leq 12$ .
Знайдемо всі цілі числа в проміжку $[6; 12]$ : це ${6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$ . Перевіряємо умову проміжку $[- 15; 15]$ — всі ці числа входять до нього.
Обчислимо суму цих чисел: $6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 63.