ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 37

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 185–194 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною

Завдання 185

Оренда студії та освітлення

Оля має $1500$ грн власних коштів і отримала $4200$ грн предоплати. Вартість оренди студії — $2800$ грн/день, а спеціального освітлення — $600$ грн/год. Потрібно знайти найбільшу кількість годин ( $x$ ), яку можна орендувати освітлення, щоб загальні витрати не перевищили доступні кошти.

Розв’язання

Обчислимо загальний бюджет: $1500 + 4200 = 5700$ грн.
Складемо нерівність, де $x$ — кількість годин оренди освітлення: $2800 + 600 x \leq 5700$ .
Віднімемо від обох частин $2800$ : $600 x \leq 5700 - 2800$ , отже $600 x \leq 2900$ .
Розділимо на $600$ : $x \leq \frac{2900}{600}$ , що дорівнює $x \leq \frac{29}{6} \approx 4, 83$ .

Відповідь:

Найбільша кількість годин — $4$ години (оскільки $x$ має бути цілим числом).

Завдання 186

Придбання інструментів для школи

Школа отримала $360000$ грн. Вартість одного електропіаніно — $86000$ грн, гітари — $7300$ грн. Купують $3$ піаніно і хочуть дізнатися максимальну кількість гітар ( $x$ ), яку можна купити на залишок.

Розв’язання

Знайдемо вартість $3$ електропіаніно: $3 \cdot 86000 = 258000$ грн.
Складемо нерівність для залишку коштів на гітари: $258000 + 7300 x \leq 360000$ .
Віднімемо витрати на піаніно від гранту: $7300 x \leq 360000 - 258000$ , отже $7300 x \leq 102000$ .
Розділимо на $7300$ : $x \leq \frac{102 000}{7300} = \frac{1020}{73} \approx 13, 97$ .

Відповідь:

Школа зможе придбати максимум $13$ гітар.

Завдання 187

Області значень функції

y = \frac{2}{3} x - 7

Дано функцію $y = \frac{2}{3} x - 7$ . Потрібно знайти діапазон значень $x$ , при яких виконуються умови: а) $y > 0$ ; б) $y > 5$ ; в) $y \geq - \frac{1}{3}$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо $\frac{2}{3} x - 7 > 0 \Rightarrow \frac{2}{3} x > 7 \Rightarrow x > \frac{21}{2} = 10, 5$ .
б) Розв'язуємо $\frac{2}{3} x - 7 > 5 \Rightarrow \frac{2}{3} x > 12 \Rightarrow x > 18$ .
в) Розв'язуємо $\frac{2}{3} x - 7 \geq - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{3} x \geq 7 - \frac{1}{3} = \frac{20}{3} \Rightarrow x \geq 10$ .

Відповідь:

а) $x > 10, 5$ ; б) $x > 18$ ; в) $x \geq 10$ .

Завдання 188

Нерівності з лінійною функцією

Знайти $x$ для функції $y = 5, 2 - 2, 5 x$ : а) $y < 0$ ; б) $y < - 4, 8$ ; в) $y \leq 7, 7$ .

Розв’язання

Пункт а): Складемо нерівність $5, 2 - 2, 5 x < 0$ . Перенесемо $- 2, 5 x$ у праву частину зі зміною знаку: $5, 2 < 2, 5 x$ . Поділимо обидві частини на $2, 5$ : $x > \frac{5 , 2}{2 , 5} = 2, 08$ .
Пункт б): Складемо нерівність $5, 2 - 2, 5 x < - 4, 8$ . Перенесемо $- 2, 5 x$ у праву частину: $5, 2 + 4, 8 < 2, 5 x$ , тобто $10 < 2, 5 x$ . Поділимо на $2, 5$ : $x > \frac{10}{2 , 5} = 4$ .
Пункт в): Складемо нерівність $5, 2 - 2, 5 x \leq 7, 7$ . Перенесемо $- 2, 5 x$ у праву частину: $5, 2 - 7, 7 \leq 2, 5 x$ , тобто $- 2, 5 \leq 2, 5 x$ . Поділимо на $2, 5$ : $x \geq - 1$ .

Відповідь:

а) $x > 2, 08$ ; б) $x > 4$ ; в) $x \geq - 1$ .

Завдання 189

Область визначення виразів з коренем

Знайти значення $x$ , при яких мають зміст вирази: а) $3 x - 6$ ; б) $4 - x$ ; в) $- (2 - x)$ ; г) $0, 6 - 0, 3 x$ ; ґ) $1 - 5 (x + 3)$ ; д) $x + 2 - x$ ; е) $\frac{2 x}{2 x - 9}$ ; є) $\frac{7}{14 - 2 x}$ .

Розв’язання

Пункт а): $3 x - 6 \geq 0 \Rightarrow 3 x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2$ .
Пункт б): $4 - x \geq 0 \Rightarrow - x \geq - 4 \Rightarrow x \leq 4$ .
Пункт в): $- (2 - x) \geq 0 \Rightarrow x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ .
Пункт г): $0, 6 - 0, 3 x \geq 0 \Rightarrow 0, 6 \geq 0, 3 x \Rightarrow 2 \geq x$ (або $x \leq 2$ ).
Пункт ґ): $1 - 5 (x + 3) \geq 0 \Rightarrow 1 - 5 x - 15 \geq 0 \Rightarrow - 5 x \geq 14 \Rightarrow x \leq - 2, 8$ .
Пункт д): Тут два умови: $2 - x \geq 0$ і $x$ — будь-яке число. З першої умови $x \leq 2$ . Отже, $x \in (- \infty; 2]$ .
Пункт е): Корінь у знаменнику: $2 x - 9 > 0 \Rightarrow 2 x > 9 \Rightarrow x > 4, 5$ .
Пункт є): Корінь у знаменнику: $14 - 2 x > 0 \Rightarrow - 2 x > - 14 \Rightarrow x < 7$ .

Відповідь:

а) $[2; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 4]$ ; в) $[2; + \infty)$ ; г) $(- \infty; 2]$ ; ґ) $(- \infty; - 2, 8]$ ; д) $(- \infty; 2]$ ; е) $(4, 5; + \infty)$ ; є) $(- \infty; 7)$ .

Завдання 190

Область визначення виразів з коренем (продовження)

Знайти значення $x$ , при яких мають зміст вирази: а) $2 x - 8$ ; б) $16 - 8 x$ ; в) $2 - 3 (2 x + 5)$ ; г) $\frac{x - 5}{3 x + 18}$ .

Розв’язання

Пункт а): $2 x - 8 \geq 0 \Rightarrow 2 x \geq 8 \Rightarrow x \geq 4$ .
Пункт б): $16 - 8 x \geq 0 \Rightarrow - 8 x \geq - 16 \Rightarrow x \leq 2$ (знак змінився при діленні на від'ємне число).
Пункт в): $2 - 3 (2 x + 5) \geq 0 \Rightarrow 2 - 6 x - 15 \geq 0 \Rightarrow - 6 x \geq 13 \Rightarrow x \leq - \frac{13}{6}$ (або $- 2, 16...$ ).
Пункт г): Корінь у знаменнику: $3 x + 18 > 0 \Rightarrow 3 x > - 18 \Rightarrow x > - 6$ .

Відповідь:

а) $[4; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 2]$ ; в) $(- \infty; - \frac{13}{6}]$ ; г) $(- 6; + \infty)$ .

Завдання 191

Область визначення функції

Знайти область визначення функції $y = \frac{1}{56 - 4 x}$ . У відповіді записати найбільше ціле двоцифрове число, що належить цій області.

Розв’язання

Запишемо умову для існування функції: $56 - 4 x > 0$ .
Перенесемо $- 4 x$ у праву частину зі зміною знака: $56 > 4 x$ .
Поділимо обидві частини на 4: $14 > x$ , або $x < 14$ . Область визначення — проміжок $(- \infty; 14)$ .

Відповідь:

Найбільше ціле двоцифрове число, яке менше за 14, це 13.

Завдання 192

Розв'язання лінійних нерівностей

а) $3 (x + 4) + 2 (3 x - 2) > 5 x - 3 (2 x + 4)$ ; б) $2 x - 6 - 5 (2 - x) \leq 12 - 5 (1 - x)$ ; в) $2, 5 (2 - z) - 3, 5 (z - 1) \leq 2, 5 (z + 2) - 1, 5 (2 - z)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $3 x + 12 + 6 x - 4 > 5 x - 6 x - 12$ . Збираємо подібні: $9 x + 8 > - x - 12$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $10 x > - 20$ . Ділимо на 10: $x > - 2$ .
б) Розкриваємо дужки: $2 x - 6 - 10 + 5 x \leq 12 - 5 + 5 x$ . Спростимо: $7 x - 16 \leq 7 + 5 x$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $2 x \leq 23$ . Ділимо на 2: $x \leq 11, 5$ .
в) Розкриваємо дужки: $5 - 2, 5 z - 3, 5 z + 3, 5 \leq 2, 5 z + 5 - 3 + 1, 5 z$ . Спростимо ліву частину ( $8 - 6 z$ ), праву ( $4 z + 2$ ): $8 - 6 z \leq 4 z + 2$ . Переносимо змінну вліво: $- 10 z \leq - 6$ . Ділимо на -10 (змінюємо знак на протилежний): $z \geq 0, 6$ .

Відповідь:

а) $x > - 2$ ; б) $x \leq 11, 5$ ; в) $z \geq 0, 6$ .

Завдання 193

Розв'язання складених нерівностей

а) $y + 7 > 4 (2 - y) - 12 (4 - 2 y) - 17 (y - 1)$ ; б) $x + 7 < 5 (2 x + 8) + 13 (4 - x) - 3 (x - 2)$ ; в) $0, 2 (x - 2) - 0, 3 (3 - x) \geq 0, 4 (2 x - 1) - 0, 5 (x - 1)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $y + 7 > 8 - 4 y - 48 + 24 y - 17 y + 17$ . Збираємо подібні: $y + 7 > - 3 y + 25$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $4 y > 18$ . Ділимо на 4: $y > 4, 5$ .
б) Розкриваємо дужки: $x + 7 < 10 x + 40 + 52 - 13 x - 3 x + 6$ . Спростимо праву частину ( $4 x + 98$ ): $x + 7 < 4 x + 98$ . Переносимо змінну вліво: $- 3 x < 91$ . Ділимо на -3 (змінюємо знак): $x > - \frac{91}{3}$ , або $x > - 30, 33 \dots$
в) Розкриваємо дужки: $0, 2 x - 0, 4 - 0, 9 + 0, 3 x \geq 0, 8 x - 0, 4 - 0, 5 x + 0, 5$ . Спростимо ліву частину ( $0, 5 x - 1, 3$ ), праву ( $0, 3 x + 0, 1$ ): $0, 5 x - 1, 3 \geq 0, 3 x + 0, 1$ . Переносимо змінну вліво: $0, 2 x \geq 1, 4$ . Ділимо на 0,2: $x \geq 7$ .

Відповідь:

а) $y > 4, 5$ ; б) $x > - 30, 33 \dots$ ; в) $x \geq 7$ .

Завдання 194

Нерівності з дробовими виразами

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{4} > 6$ ;
б) $\frac{2 + x}{3} - \frac{3 - x}{2} > 0$ ;
в) $\frac{3 ( 2 + c )}{2} - 6 < \frac{7 c - 2}{3} - \frac{12 + 4 c}{5}$ .

Розв’язання

а) Знайдемо НСК(2, 4) = 4. Помножимо нерівність на 4: $2 x + x > 24$ . Спростимо: $3 x > 24$ , звідси $x > 8$ .
б) Знайдемо НСК(3, 2) = 6. Помножимо нерівність на 6: $2 (2 + x) - 3 (3 - x) > 0$ . Розкриємо дужки: $4 + 2 x - 9 + 3 x > 0$ . Зведемо подібні: $5 x - 5 > 0$ , звідси $5 x > 5$ , отже $x > 1$ .
в) Знайдемо НСК(2, 3, 5) = 30. Помножимо нерівність на 30: $15 \cdot 3 (2 + c) - 30 \cdot 6 < 10 (7 c - 2) - 6 (12 + 4 c)$ . Спростимо ліву частину: $45 (2 + c) = 90 + 45 c$ . Праву частину: $70 c - 20 - 72 - 24 c = 46 c - 92$ . Отримаємо: $90 + 45 c < 46 c - 92$ . Перенесемо змінні вправо, числа вліво: $90 + 92 < 46 c - 45 c$ , звідси $182 < c$ або $c > 182$ .

Відповідь:

а) $x \in (8; + \infty)$ ; б) $x \in (1; + \infty)$ ; в) $c \in (182; + \infty)$ .