ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 36

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 173–184 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною

Завдання 173

Порівняння виразів

За якої умови значення виразу $3 x - 7$ більше за відповідне значення виразу: а) $2 x + 1$ ; б) $5 x - 2$ ; в) $3 x - 5$ ?

Розв’язання

Для пункту а): Складаємо нерівність $3 x - 7 > 2 x + 1$ . Переносимо $2 x$ вліво ( $3 x - 2 x$ ), а $- 7$ і $1$ вправо ( $1 + 7$ ). Отримуємо $x > 8$ .
Для пункту б): Складаємо нерівність $3 x - 7 > 5 x - 2$ . Переносимо $5 x$ вліво ( $3 x - 5 x$ ), а $- 7$ і $- 2$ вправо ( $- 2 + 7$ ). Отримуємо $- 2 x > 5$ , ділимо на $- 2$ (знак нерівності змінюється): $x < - 2, 5$ .
Для пункту в): Складаємо нерівність $3 x - 7 > 3 x - 5$ . Віднімаємо $3 x$ від обох частин: $- 7 > - 5$ , що є хибним твердженням. Значить, таких умов немає.

Відповідь:

а) $x > 8$ ; б) $x < - 2, 5$ ; в) розв'язків немає.

Завдання 174

Гра з нерівностями

Два учні записують по двочлену зі змінною $a$ в першому степені (наприклад, $2 a + 3$ і $- a + 1$ ), а третій визначає умови, за яких перший вираз менший другого ( $2 a + 3 < - a + 1$ ). Потім учні міняються ролями.

Розв’язання

Учні обирають двочлени, наприклад, $P (a) = 4 a - 5$ та $Q (a) = 2 a + 3$ .
Третій учень формулює умову: $4 a - 5 < 2 a + 3$ .
Розв'язуємо нерівність: переносимо $2 a$ вліво ( $4 a - 2 a$ ), а $- 5$ і $3$ вправо ( $3 + 5$ ). Отримуємо $2 a < 8$ , звідки $a < 4$ .

Відповідь:

Приклад умови: $a < 4$ (для виразів $4 a - 5$ і $2 a + 3$ ).

Завдання 175

Розв'язування простих нерівностей

Розв'яжи нерівності: а) $\frac{5 x}{7} \leq 3$ ; б) $\frac{- 3 x}{4} < 3$ ; в) $0 > \frac{5 x}{11}$ ; г) $\frac{3 x - 1}{4} \leq 2$ ; ґ) $\frac{2 x + 5}{7} > 3$ ; д) $\frac{7 x - 3}{5} \geq x$ .

Розв’язання

а) Множимо на 7: $5 x \leq 21$ . Ділимо на 5: $x \leq 4, 2$ .
б) Множимо на 4: $- 3 x < 12$ . Ділимо на $- 3$ (знак змінюємо): $x > - 4$ .
в) Множимо на 11: $0 > 5 x$ , тобто $5 x < 0$ . Ділимо на 5: $x < 0$ .
г) Множимо на 4: $3 x - 1 \leq 8$ . Переносимо $- 1$ вправо: $3 x \leq 9$ . Ділимо на 3: $x \leq 3$ .
ґ) Множимо на 7: $2 x + 5 > 21$ . Переносимо 5 вправо: $2 x > 16$ . Ділимо на 2: $x > 8$ .
д) Множимо на 5: $7 x - 3 \geq 5 x$ . Переносимо $5 x$ вліво ( $7 x - 5 x$ ), а $- 3$ вправо: $2 x \geq 3$ . Ділимо на 2: $x \geq 1, 5$ .

Відповідь:

а) $x \leq 4, 2$ ; б) $x > - 4$ ; в) $x < 0$ ; г) $x \leq 3$ ; ґ) $x > 8$ ; д) $x \geq 1, 5$ .

Завдання 176

Розв'язання простих нерівностей

а) $\frac{3 x}{5} > 2$ ; б) $\frac{2 x}{3} < - 4$ ; в) $0 \geq \frac{17 x}{5}$ ; г) $\frac{5 x + 1}{2} > 3$ ; ґ) $\frac{12 - 4 x}{5} \leq 0$ ; д) $\frac{3 ( x - 4 )}{5} > 12$ .

Розв’язання

а) Помножимо на 5: $3 x > 10 \Rightarrow x > \frac{10}{3}$ .
б) Помножимо на 3: $2 x < - 12 \Rightarrow x < - 6$ .
в) Помножимо на 5: $0 \geq 17 x \Rightarrow x \leq 0$ .
г) Помножимо на 2: $5 x + 1 > 6 \Rightarrow 5 x > 5 \Rightarrow x > 1$ .
ґ) Помножимо на 5: $12 - 4 x \leq 0 \Rightarrow - 4 x \leq - 12 \Rightarrow x \geq 3$ (знак змінився).
д) Помножимо на 5: $3 (x - 4) > 60 \Rightarrow 3 x - 12 > 60 \Rightarrow 3 x > 72 \Rightarrow x > 24$ .

Відповідь:

а) $x > \frac{10}{3}$ ; б) $x < - 6$ ; в) $x \leq 0$ ; г) $x > 1$ ; ґ) $x \geq 3$ ; д) $x > 24$ .

Завдання 177

Розв'язання нерівності з дробом (НМТ)

$\frac{2 x + 10}{5} > - 4$ . Варіанти відповідей: А $(- \infty; - 15)$ , Б $(- 5; + \infty)$ , В $(- \infty; 15)$ , Г $(- \infty; - 5)$ , Д $(- 15; + \infty)$ .

Розв’язання

Помножимо обидві частини на 5: $2 x + 10 > - 20$ .
Перенесемо $10$ вліво: $2 x > - 30$ .
Поділимо на 2: $x > - 15$ .

Відповідь:

Д $(- 15; + \infty)$ .

Завдання 178

Розв'язання нерівностей з квадратом виразу

а) $(x + 2)^{2} > 5 x + x^{2}$ ; б) $(x + 3)^{2} - 2 x \geq 5 x + x^{2}$ ; в) $4 - (x - 2)^{2} > x - x^{2}$ ; г) $(7 - x)^{2} - x^{2} \leq x - 11$ .

Розв’язання

а) Розкриємо дужки: $x^{2} + 4 x + 4 > 5 x + x^{2}$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $4 x + 4 > 5 x \Rightarrow 4 > x$ або $x < 4$ .
б) Розкриємо дужки: $x^{2} + 6 x + 9 - 2 x \geq 5 x + x^{2} \Rightarrow x^{2} + 4 x + 9 \geq 5 x + x^{2}$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $4 x + 9 \geq 5 x \Rightarrow 9 \geq x$ або $x \leq 9$ .
в) Розкриємо дужки: $4 - (x^{2} - 4 x + 4) > x - x^{2} \Rightarrow 4 - x^{2} + 4 x - 4 > x - x^{2} \Rightarrow 4 x > x \Rightarrow 3 x > 0 \Rightarrow x > 0$ .
г) Розкриємо дужки: $(49 - 14 x + x^{2}) - x^{2} \leq x - 11 \Rightarrow 49 - 14 x \leq x - 11 \Rightarrow 60 \leq 15 x \Rightarrow x \geq 4$ .

Відповідь:

а) $x < 4$ ; б) $x \leq 9$ ; в) $x > 0$ ; г) $x \geq 4$ .

Завдання 179

Розв'язування нерівностей з квадратними дужками

а) $(x - 3)^{2} \leq x^{2} - x$ ;
б) $(x - 2)^{2} + 7 x < x^{2} - 3 x$ ;
в) $1 - (x + 2)^{2} < 5 - x^{2}$ ;
г) $(x - 5)^{2} - 7 > x^{2} + 8$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 6 x + 9 \leq x^{2} - x$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 6 x + 9 \leq - x$ . Переносимо $- x$ вліво, а $9$ вправо: $- 5 x \leq - 9$ . Ділимо на $- 5$ (знак нерівності змінюється): $x \geq 1, 8$ .
б) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 x + 4 + 7 x < x^{2} - 3 x$ . Скорочуємо $x^{2}$ і зводимо подібні: $3 x + 4 < - 3 x$ . Переносимо $- 3 x$ вліво, а $4$ вправо: $6 x < - 4$ . Ділимо на $6$ : $x < - \frac{2}{3}$ .
в) Розкриваємо дужки: $1 - (x^{2} + 4 x + 4) < 5 - x^{2}$ . Скорочуємо $- x^{2}$ і спрощуємо: $1 - 4 x - 4 < 5$ , тобто $- 4 x - 3 < 5$ . Переносимо $- 3$ вправо: $- 4 x < 8$ . Ділимо на $- 4$ (знак змінюється): $x > - 2$ .
г) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 - 7 > x^{2} + 8$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 10 x + 18 > 8$ . Переносимо $8$ вліво, а $- 10 x$ залишаємо: $- 10 x > - 10$ . Ділимо на $- 10$ (знак змінюється): $x < 1$ .

Відповідь:

а) $x \in [1, 8; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; - \frac{2}{3})$ ; в) $x \in (- 2; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1)$ .

Завдання 180

Знаходження найбільшого натурального розв'язку

а) $18 - 3 (n - 15) > 11 n$ ;
б) $0, 3 (n - 2) < 2 - 0, 5 (n + 2)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $18 - 3 n + 45 > 11 n \Rightarrow 63 - 3 n > 11 n$ . Зводимо подібні: $63 > 14 n$ . Ділимо на $14$ : $n < 4, 5$ . Найбільше натуральне число менше за $4, 5$ — це $4$ .
б) Розкриваємо дужки: $0, 3 n - 0, 6 < 2 - 0, 5 n - 1 \Rightarrow 0, 3 n - 0, 6 < 1 - 0, 5 n$ . Зводимо подібні: $0, 8 n < 1, 6$ . Ділимо на $0, 8$ : $n < 2$ . Найбільше натуральне число менше за $2$ — це $1$ .

Відповідь:

а) $4$ ; б) $1$ .

Завдання 181

Знаходження найменшого цілого розв'язку

а) $3 m + 8 (2 m - 1) > 5 m + 34$ ;
б) $m^{2} + 4 m \leq (m + 3)^{2}$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $3 m + 16 m - 8 > 5 m + 34 \Rightarrow 19 m - 8 > 5 m + 34$ . Переносимо подібні: $14 m > 42$ . Ділимо на $14$ : $m > 3$ . Найменше ціле число більше за $3$ — це $4$ .
б) Розкриваємо дужки: $m^{2} + 4 m \leq m^{2} + 6 m + 9$ . Скорочуємо $m^{2}$ : $4 m \leq 6 m + 9$ . Переносимо $6 m$ вліво, а $9$ вправо: $- 2 m \leq 9$ . Ділимо на $- 2$ (знак змінюється): $m \geq - 4, 5$ . Найменше ціле число більше або дорівнює $- 4, 5$ — це $- 4$ .

Відповідь:

а) $4$ ; б) $- 4$ .

Завдання 182

Запис нерівностей за графіком

На малюнку 4.5 зображено три проміжки на координатній прямій: а) від точки -3 вправо (штрихована область); б) від точки 2 вліво (штрихована область); в) від точки -1 вправо (штрихована область).

Розв’язання

Проаналізуємо проміжок а): штрихування йде вправо від точки $- 3$ , точка не замкнена (кругла), отже $x > - 3$ . Друга нерівність для цього проміжку може бути, наприклад, $x > - 2$ .
Проаналізуємо проміжок б): штрихування йде вліво від точки $2$ , точка не замкнена, отже $x < 2$ . Друга нерівність: $x \leq 1$ .
Проаналізуємо проміжок в): штрихування йде вправо від точки $- 1$ , точка не замкнена, отже $x > - 1$ . Друга нерівність: $x \geq 0$ .

Відповідь:

а) $x > - 3$ ; б) $x < 2$ ; в) $x > - 1$ .

Завдання 183

Побудова нерівностей за графіком

На малюнку 4.6 зображено проміжок від $- \infty$ до точки $4$ , де точка не замкнена (кругла). Потрібно написати три різні нерівності, розв'язок яких відповідає цьому проміжку.

Розв’язання

Перша нерівність: найпростіший вигляд — $x < 4$ .
Друга нерівність: помножимо обидві частини першої на 2, отримаємо $2 x < 8$ .
Третя нерівність: помножимо на -1 і поміняємо знак нерівності (оскільки множник від'ємний), але краще просто взяти $- x > - 4$ або $x + 5 < 9$ . Простіше: $3 x < 12$ .

Відповідь:

а) $x < 4$ ; б) $2 x < 8$ ; в) $3 x < 12$ .

Завдання 184

Задача про поділ відео за планом

Відношення навчальних відео до гумористичних дорівнює $5 : 1$ . Загальна кількість відео не перевищує $130$ . Потрібно знайти найбільшу кількість навчальних відео. Скласти нерівність і розв'язати її.

Розв’язання

Нехай кількість гумористичних відео дорівнює $x$ . Тоді навчальних відео буде $5 x$ (оскільки відношення $5 : 1$ ).
Загальна кількість відео становить сума цих двох величин: $x + 5 x = 6 x$ .
Складемо нерівність: $6 x \leq 130$ .
Розв'яжемо нерівність: $x \leq \frac{130}{6}$ , тобто $x \leq 21 \frac{2}{3}$ .
Оскільки кількість відео має бути цілим числом, максимальне значення $x$ — це $21$ .
Знайдемо кількість навчальних відео: $5 \cdot 21 = 105$ . Перевірка: $105 + 21 = 126$ , що менше за $130$ . Якщо взяти $x = 22$ , то $6 \cdot 22 = 132 > 130$ , що не підходить.

Відповідь:

Найбільша кількість навчальних відео — $105$ .