ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 35

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 159–172 · 14 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною

Завдання 159

Відображення нерівностей на прямій

Записати множини чисел, що задовольняють нерівності: а) $x < 4$ ; б) $x > - 1$ ; в) $x ⩾ 5$ ; г) $x ⩽ 0, 5$ .

Розв’язання

а) Малюємо координатну пряму, знаходимо точку $4$ , ставимо відкриту дужку (кружок) і штрихуємо вліво до нескінченності.
б) Знаходимо точку $- 1$ , ставимо відкриту дужку і штрихуємо вправо.
в) Знаходимо точку $5$ , ставимо закриту дужку (точка) і штрихуємо вправо.
г) Знаходимо точку $0, 5$ , ставимо закриту дужку і штрихуємо вліво.

Відповідь:

а) $(- \infty; 4)$ ; б) $(- 1; + \infty)$ ; в) $[5; + \infty)$ ; г) $(- \infty; 0, 5]$ .

Завдання 160

Відображення нерівностей на прямій

Записати множини чисел, що задовольняють нерівності: а) $x < - 2$ ; б) $x > 3$ ; в) $x ⩽ 6$ ; г) $x ⩾ - 4$ .

Розв’язання

а) Точка $- 2$ не входить у множину (відкрита дужка), штрихуємо вліво.
б) Точка $3$ не входить, штрихуємо вправо.
в) Точка $6$ входить (закрита дужка), штрихуємо вправо.
г) Точка $- 4$ входить (закрита дужка), штрихуємо вправо.

Відповідь:

а) $(- \infty; - 2)$ ; б) $(3; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 6]$ — помилка в умові запису, правильно $[6; + \infty)$ ; г) $[- 4; + \infty)$ .

Завдання 161

Розв'язання простих нерівностей

Розв'язати нерівності: а) $x + 2 > 5$ ; б) $x - 4 > 0$ ; в) $2 + x ⩾ 3$ ; г) $3 x > 15$ ; д) $4 y < 36$ ; е) $5 z ⩾ 35$ .

Розв’язання

а) Переносимо $2$ у праву частину: $x > 5 - 2$ , отже $x > 3$ .
б) Переносимо $- 4$ : $x > 0 + 4$ , отже $x > 4$ .
в) Переносимо $2$ : $x ⩾ 3 - 2$ , отже $x ⩾ 1$ .
г) Ділимо на $3$ (знак не змінюємо): $x > 5$ .
д) Ділимо на $4$ : $y < 9$ .
е) Ділимо на $5$ : $z ⩾ 7$ .

Відповідь:

а) $x > 3$ ; б) $x > 4$ ; в) $x ⩾ 1$ ; г) $x > 5$ ; д) $y < 9$ ; е) $z ⩾ 7$ .

Завдання 162

Розв'язання простих нерівностей

Знайти множину значень змінної, що задовольняють умови: а) $13 + x > 15$ ; б) $x + 7 > 0$ ; в) $2 x - 5 \geq 0$ ; г) $4 x \geq 20$ ; ґ) $3 x - 1, 5 \leq 0$ ; д) $10 + 5 x < 0$ .

Розв’язання

а) Переносимо 13 вправо: $x > 15 - 13 \Rightarrow x > 2$ .
б) Переносимо 7 вліво: $x > - 7$ .
в) Переносимо -5 вліво і ділимо на 2: $2 x \geq 5 \Rightarrow x \geq 2, 5$ .
г) Ділимо обидві частини на 4: $x \geq 5$ .
ґ) Переносимо -1,5 вправо і ділимо на 3: $3 x \leq 1, 5 \Rightarrow x \leq 0, 5$ .
д) Переносимо 10 вліво і ділимо на 5: $5 x < - 10 \Rightarrow x < - 2$ .

Відповідь:

а) $x > 2$ ; б) $x > - 7$ ; в) $x \geq 2, 5$ ; г) $x \geq 5$ ; ґ) $x \leq 0, 5$ ; д) $x < - 2$ .

Завдання 163

Розв'язання нерівностей з від'ємними коефіцієнтами та літерами

Знайти розв'язки для: а) $- x < 5$ ; б) $- 2 z \geq - 4$ ; в) $- x < 0$ ; г) $5 x - 4 < 3 x$ ; ґ) $6 z + 1 > 9 + 2 z$ ; д) $y + 5 \leq 2 y - 7$ .

Розв’язання

а) Ділимо на -1 і змінюємо знак: $x > - 5$ .
б) Ділимо на -2 і змінюємо знак: $z \leq 2$ .
в) Ділимо на -1 і змінюємо знак: $x > 0$ .
г) Переносимо $3 x$ вліво, а -4 вправо: $5 x - 3 x < 4 \Rightarrow 2 x < 4 \Rightarrow x < 2$ .
ґ) Збираємо змінні: $6 z - 2 z > 9 - 1 \Rightarrow 4 z > 8 \Rightarrow z > 2$ .
д) Збираємо $y$ : $y - 2 y \leq - 7 - 5 \Rightarrow - y \leq - 12$ . Ділимо на -1 і змінюємо знак: $y \geq 12$ .

Відповідь:

а) $x > - 5$ ; б) $z \leq 2$ ; в) $x > 0$ ; г) $x < 2$ ; ґ) $z > 2$ ; д) $y \geq 12$ .

Завдання 164

Розв'язання складніших нерівностей з від'ємними коефіцієнтами

Знайти розв'язки для: а) $- 5 x \leq 15$ ; б) $- 3 x > - 3$ ; в) $- 5 z \leq - 1$ ; г) $3 x + 2 < 5$ ; ґ) $7 x - 4 \geq 8 + x$ ; д) $9 x + 5 > 17 - 3 x$ .

Розв’язання

а) Ділимо на -5 і змінюємо знак: $x \geq - 3$ .
б) Ділимо на -3 і змінюємо знак: $x < 1$ .
в) Ділимо на -5 і змінюємо знак: $z \geq 0, 2$ (або $\frac{1}{5}$ ).
г) Переносимо 2 вправо: $3 x < 5 - 2 \Rightarrow 3 x < 3 \Rightarrow x < 1$ .
ґ) Збираємо $x$ : $7 x - x \geq 8 + 4 \Rightarrow 6 x \geq 12 \Rightarrow x \geq 2$ .
д) Збираємо $x$ : $9 x + 3 x > 17 - 5 \Rightarrow 12 x > 12 \Rightarrow x > 1$ .

Відповідь:

а) $x \geq - 3$ ; б) $x < 1$ ; в) $z \geq 0, 2$ ; г) $x < 1$ ; ґ) $x \geq 2$ ; д) $x > 1$ .

Завдання 165

Перевірка рівносильності нерівностей

Дано чотири пари нерівностей, потрібно визначити, чи є вони рівносильними (або тотожними): а) $2 x + 3 > x + 8$ і $x > 5$ ; б) $2 x - 3 ⩾ 2$ і $2 x - 4 ⩾ 1$ ; в) $3 - 5 x < x$ і $6 x > 3$ ; г) $3 x - 1 < 6 - 2 x$ і $1 - 3 x < 2 x - 6$ .

Розв’язання

Варіант а): $2 x + 3 > x + 8 \Rightarrow x > 5$ . Друга нерівність вже має вигляд $x > 5$ . Відповідь одна й та сама, тому пари рівносильні.
Варіант б): $2 x - 3 ⩾ 2 \Rightarrow 2 x ⩾ 5 \Rightarrow x ⩾ 2, 5$ . Друга нерівність: $2 x - 4 ⩾ 1 \Rightarrow 2 x ⩾ 5 \Rightarrow x ⩾ 2, 5$ . Відповіді збігаються, тому пари рівносильні.
Варіант в): $3 - 5 x < x \Rightarrow 3 < 6 x \Rightarrow x > 0, 5$ . Друга нерівність: $6 x > 3 \Rightarrow x > 0, 5$ . Відповіді збігаються, тому пари рівносильні.
Варіант г): $3 x - 1 < 6 - 2 x \Rightarrow 5 x < 7 \Rightarrow x < 1, 4$ . Друга нерівність: $1 - 3 x < 2 x - 6 \Rightarrow 7 < 5 x \Rightarrow x > 1, 4$ . Оскільки множина чисел менших за $1, 4$ не збігається з множиною чисел більших за $1, 4$ , пари нерівносильні.

Відповідь:

а) Так; б) Так; в) Так; г) Ні.

Завдання 166

Розв'язання лінійних нерівностей

Розв'язати шість нерівностей: а) $8 x - 3 > 5 x + 6$ ; б) $7 y - 13 < 5 y - 9$ ; в) $2 x - 3 ⩽ 3 x - 8$ ; г) $x - 15 ⩾ 4 x + 3$ ; д) $5 - 2 y < y + 8$ ; є) $3 - 5 x > 4 - 5 x$ .

Розв’язання

а) Перенесемо $5 x$ вліво, а $- 3$ і $6$ вправо: $8 x - 5 x > 6 + 3 \Rightarrow 3 x > 9 \Rightarrow x > 3$ .
б) Перенесемо $5 y$ вліво, а $- 13$ і $- 9$ вправо: $7 y - 5 y < - 9 + 13 \Rightarrow 2 y < 4 \Rightarrow y < 2$ .
в) Перенесемо $3 x$ вліво, а $- 3$ і $- 8$ вправо: $2 x - 3 x ⩽ - 8 + 3 \Rightarrow - x ⩽ - 5 \Rightarrow x ⩾ 5$ .
г) Перенесемо $4 x$ вліво, а $- 15$ і $3$ вправо: $x - 4 x ⩾ 3 + 15 \Rightarrow - 3 x ⩾ 18 \Rightarrow x ⩽ - 6$ .
д) Перенесемо $y$ вліво, а $5$ і $8$ вправо: $- 2 y - y < 8 - 5 \Rightarrow - 3 y < 3 \Rightarrow y > - 1$ .
є) Змінні з обох частин однакові ( $- 5 x$ ), їх можна скоротити: $3 > 4$ . Це хибна нерівність, тому розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(3; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 2)$ ; в) $[5; + \infty)$ ; г) $(- \infty; - 6]$ ; д) $(- 1; + \infty)$ ; є) розв'язків немає.

Завдання 167

Розв'язання нерівностей зі зведенням подібних доданків

Розв'язати шість нерівностей: а) $6 x + 21 ⩽ 5 x + 8$ ; б) $3 x + 7 < 7 x + 3$ ; в) $7 x - 5 > 3 x + 7$ ; г) $2 x - 9 ⩾ 9 x + 5$ ; д) $18 + 7 x ⩾ 7 x + 30$ .

Розв’язання

а) Перенесемо $5 x$ вліво, а $21$ і $8$ вправо: $6 x - 5 x ⩽ 8 - 21 \Rightarrow x ⩽ - 13$ .
б) Перенесемо $7 x$ вліво, а $7$ і $3$ вправо: $3 x - 7 x < 3 - 7 \Rightarrow - 4 x < - 4 \Rightarrow x > 1$ .
в) Перенесемо $3 x$ вліво, а $- 5$ і $7$ вправо: $7 x - 3 x > 7 + 5 \Rightarrow 4 x > 12 \Rightarrow x > 3$ .
г) Перенесемо $9 x$ вліво, а $- 9$ і $5$ вправо: $2 x - 9 x ⩾ 5 + 9 \Rightarrow - 7 x ⩾ 14 \Rightarrow x ⩽ - 2$ .
д) Перенесемо $7 x$ вліво, а $18$ і $30$ вправо: $7 x - 7 x ⩾ 30 - 18 \Rightarrow 0 ⩾ 12$ . Це хибна нерівність, тому розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(- \infty; - 13]$ ; б) $(1; + \infty)$ ; в) $(3; + \infty)$ ; г) $(- \infty; - 2]$ ; д) розв'язків немає.

Завдання 168

Розв'язування нерівностей з дужками

а) $3 (x + 1) > x + 5$ ;
б) $2 (x - 1) + 4 < x + 7$ ;
в) $4 (x - 2) < x + 1$ ;
г) $3 (x + 2) - 4 > x + 2$ ;
ґ) $2 (x + 3) \geq 5 (x - 1) + 8$ ;
д) $4 (x + 3) - 3 x \leq 2 (x - 5) + 12$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $3 x + 3 > x + 5$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $3 x - x > 5 - 3$ , отже $2 x > 2 \Rightarrow x > 1$ .
б) Розкриваємо дужки: $2 x - 2 + 4 < x + 7$ , тобто $2 x + 2 < x + 7$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $2 x - x < 7 - 2 \Rightarrow x < 5$ .
в) Розкриваємо дужки: $4 x - 8 < x + 1$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $4 x - x < 1 + 8 \Rightarrow 3 x < 9 \Rightarrow x < 3$ .
г) Розкриваємо дужки: $3 x + 6 - 4 > x + 2$ , тобто $3 x + 2 > x + 2$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $3 x - x > 2 - 2 \Rightarrow 2 x > 0 \Rightarrow x > 0$ .
ґ) Розкриваємо дужки: $2 x + 6 \geq 5 x - 5 + 8$ , тобто $2 x + 6 \geq 5 x + 3$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $2 x - 5 x \geq 3 - 6 \Rightarrow - 3 x \geq - 3$ . Ділимо на $- 3$ і змінюємо знак нерівності на протилежний: $x \leq 1$ .
д) Розкриваємо дужки: $4 x + 12 - 3 x \leq 2 x - 10 + 12$ , тобто $x + 12 \leq 2 x + 2$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $x - 2 x \leq 2 - 12 \Rightarrow - x \leq - 10$ . Ділимо на $- 1$ і змінюємо знак: $x \geq 10$ .

Відповідь:

а) $x > 1$ ; б) $x < 5$ ; в) $x < 3$ ; г) $x > 0$ ; ґ) $x \leq 1$ ; д) $x \geq 10$ .

Завдання 169

Розв'язування складених нерівностей з дужками

а) $- 5 (x - 1) < 3 - 7 x$ ;
б) $2 (3 - x) - x < 24 + 3 x$ ;
в) $4 (2 - x) > x - 2$ ;
г) $- 3 (1 - x) + 5 x \leq 2 x + 9$ ;
ґ) $8 - 3 (x - 2) > 4 (x + 7)$ ;
д) $5 (y - 2) - 7 y < 12 - 4 (y + 5)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $- 5 x + 5 < 3 - 7 x$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $- 5 x + 7 x < 3 - 5 \Rightarrow 2 x < - 2 \Rightarrow x < - 1$ .
б) Розкриваємо дужки: $6 - 2 x - x < 24 + 3 x$ , тобто $6 - 3 x < 24 + 3 x$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $- 3 x - 3 x < 24 - 6 \Rightarrow - 6 x < 18$ . Ділимо на $- 6$ і змінюємо знак: $x > - 3$ .
в) Розкриваємо дужки: $8 - 4 x > x - 2$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $- 4 x - x > - 2 - 8 \Rightarrow - 5 x > - 10$ . Ділимо на $- 5$ і змінюємо знак: $x < 2$ .
г) Розкриваємо дужки: $- 3 + 3 x + 5 x \leq 2 x + 9$ , тобто $- 3 + 8 x \leq 2 x + 9$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $8 x - 2 x \leq 9 + 3 \Rightarrow 6 x \leq 12 \Rightarrow x \leq 2$ .
ґ) Розкриваємо дужки: $8 - 3 x + 6 > 4 x + 28$ , тобто $14 - 3 x > 4 x + 28$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $- 3 x - 4 x > 28 - 14 \Rightarrow - 7 x > 14$ . Ділимо на $- 7$ і змінюємо знак: $x < - 2$ .
д) Розкриваємо дужки: $5 y - 10 - 7 y < 12 - 4 y - 20$ , тобто $- 2 y - 10 < - 4 y - 8$ . Переносимо змінну вліво, число вправо: $- 2 y + 4 y < - 8 + 10 \Rightarrow 2 y < 2 \Rightarrow y < 1$ .

Відповідь:

а) $x < - 1$ ; б) $x > - 3$ ; в) $x < 2$ ; г) $x \leq 2$ ; ґ) $x < - 2$ ; д) $y < 1$ .

Завдання 170

Знаходження умов від'ємності виразів

За якої умови набуває від'ємних значень вираз:
а) $7 + 5 x$ ;
б) $10 - 0, 5 x$ ;
в) $7 - 2 x$ .

Розв’язання

а) Складаємо нерівність $7 + 5 x < 0$ . Переносимо число вправо: $5 x < - 7$ . Ділимо на $5$ : $x < - 0, 4$ (або $- 7/5$ ).
б) Складаємо нерівність $10 - 0, 5 x < 0$ . Переносимо число вправо: $- 0, 5 x < - 10$ . Ділимо на $- 0, 5$ і змінюємо знак: $x > 20$ .
в) Складаємо нерівність $7 - 2 x < 0$ . Переносимо число вправо: $- 2 x < - 7$ . Ділимо на $- 2$ і змінюємо знак: $x > 3, 5$ .

Відповідь:

а) $x < - 0, 4$ ; б) $x > 20$ ; в) $x > 3, 5$ .

Завдання 171

Знаходження умови невід'ємності виразу

За якої умови набуває невід'ємних значень (значення $\geq 0$ ) вираз: а) $25 + 5 x$ ; б) $3 + 1, 5 x$ ; в) $1, 2 - 3 x$ .

Розв’язання

а) Запишемо нерівність $25 + 5 x \geq 0$ . Перенесемо 25 вправо: $5 x \geq - 25$ . Поділимо на 5: $x \geq - 5$ . Відповідь: $[- 5; + \infty)$ .
б) Запишемо нерівність $3 + 1, 5 x \geq 0$ . Перенесемо 3 вправо: $1, 5 x \geq - 3$ . Поділимо на 1,5 (знак не змінюємо): $x \geq - 2$ . Відповідь: $[- 2; + \infty)$ .
в) Запишемо нерівність $1, 2 - 3 x \geq 0$ . Перенесемо $- 3 x$ вправо (або 1,2 вліво): $- 3 x \geq - 1, 2$ . Ділимо на $- 3$ і змінюємо знак нерівності на протилежний: $x \leq 0, 4$ . Відповідь: $(- \infty; 0, 4]$ .

Відповідь:

а) $x \geq - 5$ (або $[- 5; + \infty)$ ); б) $x \geq - 2$ (або $[- 2; + \infty)$ ); в) $x \leq 0, 4$ (або $(- \infty; 0, 4]$ ).

Завдання 172

Знаходження умови, коли вираз більший за 10

За якої умови значення даного виразу більше за 10? а) $3 + 7 x$ ; б) $5, 4 - 2, 3 x$ ; в) $12 - 5 x$ .

Розв’язання

а) Запишемо нерівність $3 + 7 x > 10$ . Віднімемо 3 від обох частин: $7 x > 7$ . Поділимо на 7: $x > 1$ . Відповідь: $(1; + \infty)$ .
б) Запишемо нерівність $5, 4 - 2, 3 x > 10$ . Перенесемо $- 2, 3 x$ вправо (або 5,4 вліво): $- 2, 3 x > 10 - 5, 4$ , тобто $- 2, 3 x > 4, 6$ . Ділимо на $- 2, 3$ і змінюємо знак: $x < - 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2)$ .
в) Запишемо нерівність $12 - 5 x > 10$ . Перенесемо $- 5 x$ вправо (або 12 вліво): $- 5 x > 10 - 12$ , тобто $- 5 x > - 2$ . Ділимо на $- 5$ і змінюємо знак: $x < 0, 4$ . Відповідь: $(- \infty; 0, 4)$ .

Відповідь:

а) $x > 1$ (або $(1; + \infty)$ ); б) $x < - 2$ (або $(- \infty; - 2)$ ); в) $x < 0, 4$ (або $(- \infty; 0, 4)$ ).