ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 34

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 4–158 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною

Завдання 4

Подвійна нерівність

Розв'язати подвійну нерівність $- 2 \leq 10 x - 3 \leq 5$ .

Розв’язання

Додамо 3 до кожної частини нерівності: $- 2 + 3 \leq 10 x - 3 + 3 \leq 5 + 3$ .
Спростимо вирази: $1 \leq 10 x \leq 8$ .
Поділимо всі частини на 10: $0, 1 \leq x \leq 0, 8$ .

Відповідь:

$[0, 1; 0, 8]$ .

Завдання 5

Нерівність з параметром

Для кожного значення параметра $a$ розв'язати нерівність $(a - 1) x \geq a^{2} - 1$ .

Розв’язання

Випадок $a - 1 = 0$ (тобто $a = 1$ ): Нерівність набуває вигляду $0 \cdot x \geq 0$ , що виконується для будь-якого $x$ .
Випадок $a - 1 > 0$ (тобто $a > 1$ ): Ділимо на додатне число $(a - 1)$ , знак не змінюємо: $x \geq \frac{a ^{2} - 1}{a - 1} = \frac{( a - 1 ) ( a + 1 )}{a - 1}$ , отже $x \geq a + 1$ .
Випадок $a - 1 < 0$ (тобто $a < 1$ ): Ділимо на від'ємне число $(a - 1)$ , знак змінюємо на протилежний: $x \leq a + 1$ .

Відповідь:

Якщо $a < 1$ , то $x \leq a + 1$ ; якщо $a = 1$ , то $x$ — будь-яке число; якщо $a > 1$ , то $x \geq a + 1$ .

Завдання 151

Перевірка чисел у нерівностях

Які з чисел $0, 1, 2, 3, 4, 5$ задовольняють нерівності: а) $2 x - 5 > 0$ ; б) $4 x + 1 \leq 13$ ; в) $3 x + 4 \geq 5$ .

Розв’язання

а) $2 x - 5 > 0 \Rightarrow 2 x > 5 \Rightarrow x > 2, 5$ . З набору підходять числа $3, 4, 5$ .
б) $4 x + 1 \leq 13 \Rightarrow 4 x \leq 12 \Rightarrow x \leq 3$ . З набору підходять числа $0, 1, 2, 3$ .
в) $3 x + 4 \geq 5 \Rightarrow 3 x \geq 1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$ . З набору підходять числа $1, 2, 3, 4, 5$ (число 0 не підходить).

Відповідь:

а) $3, 4, 5$ ; б) $0, 1, 2, 3$ ; в) $1, 2, 3, 4, 5$ .

Завдання 152

Розв'язування простих нерівностей

а) $2 x < 6$ ;
б) $- 3 x > 9$ ;
в) $- 10 x < 20$ ;
г) $0, 5 z > 2$ .

Розв’язання

а) Ділимо на 2: $x < 3$ .
б) Ділимо на -3 і змінюємо знак на протилежний: $x < - 3$ .
в) Ділимо на -10 і змінюємо знак на протилежний: $x > - 2$ .
г) Ділимо на 0,5 (або множимо на 2): $z > 4$ .

Відповідь:

а) $x < 3$ ; б) $x < - 3$ ; в) $x > - 2$ ; г) $z > 4$ .

Завдання 153

Знаходження найбільшого цілого числа в проміжку

Укажи найбільше ціле число, яке належить проміжку $(- \infty; - 2, 3)$ .

Розв’язання

Межа проміжку дорівнює $- 2, 3$ .
Цілі числа, що менші за $- 2, 3$ : $- 3, - 4, - 5 \dots$
Найбільше з них — це $- 3$ , оскільки $- 3 < - 2, 3$ , а наступне ціле число $- 2$ більше за $- 2, 3$ .

Відповідь:

В $- 3$ .

Завдання 154

Знаходження проміжку розв'язків нерівності

Розв'язком нерівності $2 x + 3 \geq 1$ є проміжок.

Розв’язання

Знаходимо корінь: $2 x = 1 - 3 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$ .
Оскільки знак $\geq$ , то $x$ може дорівнювати $- 1$ і бути більшим за нього.
Отже, проміжок починається з $- 1$ (замкнено) і йде до нескінченності: $[- 1; + \infty)$ .

Відповідь:

Г $[- 1; + \infty)$ .

Завдання 155

Кількість розв'язків нерівностей

а) $x^{2} + 1 < 0$ ; б) $∣ x ∣ < 0$ ; в) $∣ x ∣ \leq 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $x^{2} + 1 \geq 1$ . Нерівність $x^{2} + 1 < 0$ не має розв'язків, бо ліва частина завжди більша за нуль.
Для пункту б): модуль числа $∣ x ∣$ завжди $\geq 0$ , тому нерівність $∣ x ∣ < 0$ неможлива для жодного дійсного числа.
Для пункту в): модуль числа дорівнює нулю лише тоді, коли саме число дорівнює нулю ( $∣0∣ = 0$ ). Отже, єдиний розв'язок — $x = 0$ .

Відповідь:

а) 0; б) 0; в) 1.

Завдання 156

Нерівність з модулем

Знайти розв'язок нерівності $∣ - 2 x - 3∣ > 5$ серед наведених варіантів: А) –2, Б) –1, В) 0, Г) 1, Д) 2.

Розв’язання

Розпишемо умову $∣ - 2 x - 3∣ > 5$ у вигляді двох нерівностей: $- 2 x - 3 < - 5$ або $- 2 x - 3 > 5$ .
Розв'яжемо першу нерівність: додаємо 3 до обох частин ( $- 2 x < - 2$ ), ділимо на –2 (знак нерівності змінюється на протилежний): $x > 1$ .
Розв'яжемо другу нерівність: додаємо 3 до обох частин ( $- 2 x > 8$ ), ділимо на –2: $x < - 4$ .
Запишемо загальний розв'язок у вигляді об'єднання проміжків: $x \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$ .
Перевіримо наведені варіанти: –2 і 0 не входять до розв'язку, –1 теж ні. Число 2 належить проміжку $(1; + \infty)$ , отже, є правильним розв'язком.

Відповідь:

Д) 2

Завдання 157

Розв'язування простих нерівностей

а) $x + 3 < x$ ; б) $x - 3 \leq x$ ; в) $3 + x > 3$ .

Розв’язання

Для пункту а): віднімемо $x$ від обох частин: $3 < 0$ . Це хибна нерівність, тому розв'язків немає.
Для пункту б): віднімемо $x$ від обох частин: $- 3 \leq 0$ . Це вірна нерівність, яка виконується для будь-якого дійсного числа $x$ .
Для пункту в): віднімемо 3 від обох частин: $x > 0$ . Розв'язком є проміжок $(0; + \infty)$ .

Відповідь:

а) розв'язків немає; б) будь-яке дійсне число; в) $x > 0$ .

Завдання 158

Нерівність трикутника

Сторони трикутної хустинки — цілі числа. Дві сторони дорівнюють $30 см$ та $40 см$ . Потрібно знайти найбільше можливе значення третьої сторони.

Розв’язання

Обчислимо межі для третьої сторони $c$ : $40 - 30 < c < 40 + 30$ , тобто $10 < c < 70$ .
Оскільки сторони мають бути цілими числами, найбільше ціле число, яке менше за $70$ , це $69$ .

Відповідь:

$69 см$ .